结论：限制民事行为能力人损害他人名誉的，其侵权责任承担需根据具体情况分析，一般由其监护人承担侵权责任；若限制民事行为能力人自身有财产，则先从其财产中支付赔偿费用，不足部分由监护人赔偿。
法律背景与详细分析：
限制民事行为能力人的定义：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，限制民事行为能力人通常指的是八周岁以上的未成年人，以及不能完全辨认自己行为的成年人。这类人群在民事行为能力上受到一定限制，不能独立进行与其年龄、智力或精神健康状况不相适应的民事法律行为。
名誉权侵权责任：
- 名誉权是公民或法人保持并维护自己名誉的权利，属于人格权的一种。当限制民事行为能力人损害他人名誉时，即构成名誉权侵权，应承担相应的法律责任。
侵权责任承担：
- 监护人责任：由于限制民事行为能力人不能完全独立承担民事责任，因此其侵权责任通常由其监护人承担。监护人需负责监督、教育被监护人，防止其损害他人名誉，并在侵权行为发生后承担赔偿责任。
- 自身财产支付：若限制民事行为能力人自身拥有财产，如个人积蓄、投资收益等，则应先从其财产中支付赔偿费用。这体现了“谁侵权，谁赔偿”的原则，同时也减轻了监护人的经济负担。
- 不足部分赔偿：若限制民事行为能力人的财产不足以支付全部赔偿费用，则不足部分由其监护人承担。监护人需确保被侵权人的合法权益得到充分保障。
特殊情况考虑：
- 在某些特殊情况下，如限制民事行为能力人是在学校、幼儿园等教育机构内受到损害，且教育机构未尽到教育、管理职责的，教育机构也可能需承担相应的补充责任。但这并不改变限制民事行为能力人及其监护人作为主要责任主体的地位。
法律建议：
- 对于被侵权人而言，若遭遇限制民事行为能力人损害名誉的情况，应及时收集证据，如聊天记录、社交媒体截图等，以证明侵权行为的存在和损害后果的严重性。
- 被侵权人可以向限制民事行为能力人的监护人提出赔偿要求，并协商赔偿事宜。若协商无果，可依法向人民法院提起诉讼，要求监护人承担侵权责任。
- 对于监护人而言，应加强对被监护人的教育和监督，防止其损害他人名誉。同时，在侵权行为发生后，应积极与被侵权人沟通协商，妥善处理赔偿事宜，以维护社会和谐稳定。
可能法律后果：
- 若限制民事行为能力人及其监护人未承担侵权责任，被侵权人可依法向人民法院提起诉讼，要求赔偿损失。法院将根据案件事实和法律规定，判决限制民事行为能力人及其监护人承担相应的赔偿责任。
- 若限制民事行为能力人及其监护人拒不履行法院判决，被侵权人可申请强制执行，法院将依法采取强制措施，如查封、扣押、拍卖财产等，以保障被侵权人的合法权益得到实现。