对没有办理饲养证的私自养一只画眉鸟的处罚，主要由林业主管部门或其授权的单位负责。以下是对此问题的详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国野生动物保护法》及相关规定，饲养受保护的野生动物（包括画眉鸟等）需要办理相应的饲养证或许可。未取得饲养证而私自饲养的，属于违法行为。

2. 处罚机关：

   • 林业主管部门是负责野生动物保护和管理的主要部门，对于未办理饲养证而私自饲养野生动物的行为，林业主管部门有权进行处罚。
   • 在某些情况下，林业主管部门可能会授权其下属的单位或机构（如野生动物保护站、林业派出所等）进行具体的执法和处罚工作。

3. 处罚措施：

   • 具体的处罚措施可能包括警告、罚款、没收非法饲养的野生动物及其制品、责令限期改正等。
   • 处罚的轻重会根据违法行为的情节、后果以及当事人的态度等因素进行综合考量。

4. 特殊情况：

   • 如果画眉鸟并非受保护的野生动物，或者当地有特定的规定允许个人饲养某些野生动物而无需办理饲养证，那么情况可能会有所不同。但通常情况下，画眉鸟作为受保护的野生动物，是需要办理饲养证的。
   • 另外，如果私自饲养野生动物的行为同时违反了其他法律法规（如动物防疫法、公共卫生安全法等），那么还可能面临其他部门的处罚。

建议：

• 如果你或他人有私自饲养画眉鸟等野生动物的行为，建议尽快了解并遵守相关法律法规，办理必要的饲养证或许可。
• 如果已经面临处罚或担心可能面临处罚，建议及时咨询专业律师，了解具体的法律责任和应对策略。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据你的具体情况提供详细的法律建议。