针对您提出的“未成年人在饭店无监护人看护下奔跑嬉闹撞到上菜的服务员被烫伤，饭店责任如何承担”的问题，这确实是一个涉及法律责任与安全保障义务的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，饭店作为经营场所，负有法定的安全保障义务。这意味着饭店有责任及时防范场所内可能出现的各类安全隐患，以保障消费者，包括未成年人的安全。如果饭店未能尽到这一义务，导致消费者受到损害，那么饭店应当承担相应的侵权责任。
在您描述的场景中，未成年人在无监护人看护的情况下在饭店内奔跑嬉闹，并撞到了上菜的服务员，导致被烫伤。这一事件中，既涉及饭店的安全保障义务，也涉及监护人的监护责任。
饭店的责任：
- 饭店应当确保其经营场所内的设施、设备以及服务流程等不存在安全隐患。例如，饭店应当合理规划就餐区域与上菜通道，避免消费者与服务员之间发生碰撞；同时，对于可能产生高温、高压等危险的服务环节，饭店应当采取必要的防护措施，并设置明显的警示标志。
- 如果饭店未能尽到上述安全保障义务，导致未成年人被烫伤，那么饭店应当承担与其过错相适应的侵权责任。这可能包括赔偿医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。
监护人的责任：
- 监护人作为未成年人的法定保护人，有责任对未成年人进行监护和管理，防止其受到伤害。在公共场所，监护人应当特别关注未成年人的行为安全，避免其进行危险行为或置身于危险环境中。
- 在您描述的事件中，如果监护人未能尽到监护义务，导致未成年人在饭店内奔跑嬉闹并撞到服务员被烫伤，那么监护人对于损害的发生也存在一定的过错。根据法律规定，这可以减轻饭店的责任。
责任分担：
- 在实际案件中，法院会综合考虑饭店与监护人的过错程度、损害后果等因素，来确定双方的责任分担比例。一般来说，如果饭店未能尽到安全保障义务，且其过错与损害后果之间存在因果关系，那么饭店应当承担主要责任；而监护人如果未能尽到监护义务，则应当承担次要责任。
为了具体说明这一点，我可以引用两个类似的案例：
- 在一个案例中，儿童在酒店就餐后脱离家长监管嬉戏玩耍，不慎与提有热水的服务员相撞被烫伤。法院最终调解处理，酒店方主动承担了受伤儿童的医疗费和后期治疗费，同时受伤儿童家属也配合酒店办理了事故保险事宜。
- 在另一个案例中，顾客在小吃店就餐时不慎踩进盛了开水的桶中导致烫伤。小吃店经营者因未尽到安全保障义务被法院判决承担侵权责任。
综上所述，饭店在未成年人在其经营场所内被烫伤的事件中，如果未能尽到安全保障义务，应当承担相应的侵权责任；同时，监护人也应当对未成年人的行为安全负责，如果未能尽到监护义务，则应当承担一定的过错责任。在实际案件中，法院会综合考虑双方过错程度来确定责任分担比例。希望这一解答能够对您有所帮助。