结论：在别人家狗把您家狗追击导致跑丢的情况下，狗主人是否需要承担法律责任，取决于具体情况，包括狗主人的过错程度、是否尽到管理义务以及是否存在免责事由等。以下从不同角度进行分析：

1. 过错责任原则：

   • 根据一般的侵权责任原则，如果狗主人存在过错，比如未对狗进行妥善管理，导致狗逃脱并追击您家的狗，那么狗主人可能需要承担相应的赔偿责任。过错通常包括故意和过失两种情形，在此情况下，更可能是过失，即狗主人未尽到合理的注意和管理义务。

2. 管理义务的履行：

   • 狗主人有义务对其狗进行妥善管理，防止其造成他人损害。这包括但不限于使用狗链、狗笼等措施限制狗的活动范围。如果狗主人未履行这些管理义务，导致狗逃脱并追击您家的狗，那么狗主人很可能需要承担法律责任。

3. 免责事由：

   • 在某些情况下，狗主人可能主张免责。例如，如果狗是在被他人故意挑衅或激怒的情况下追击您家的狗，且狗主人已经尽到了合理的注意和管理义务，那么狗主人可能不需要承担责任。然而，这种情况下的免责事由需要具体证据支持，且并非绝对免责。

4. 实际损害与因果关系：

   • 要确定狗主人是否需要承担法律责任，还需要考虑您家狗跑丢是否确实由别人家狗的追击行为导致，以及这种跑丢是否给您造成了实际损害（如寻找狗的费用、狗的价值损失等）。如果存在实际的损害，并且这种损害与别人家狗的追击行为之间存在因果关系，那么狗主人可能需要承担相应的赔偿责任。

建议：

• 如果您认为别人家狗的追击行为导致您家狗跑丢，并且给您造成了实际损害，建议您首先尝试与狗主人进行协商，看是否能够达成和解并获得相应的赔偿。
• 如果协商无果，您可以考虑收集相关证据（如目击者证言、监控录像等），并咨询专业律师（即我，舒进律师，专注于房产纠纷、房屋买卖、经济纠纷、合同纠纷、知识产权、刑事辩护、侵权纠纷、劳动纠纷领域），以了解您的法律权益和可能的维权途径。
• 在处理此类纠纷时，保持冷静和理性至关重要。避免采取过激行为或言语攻击，以免加剧矛盾并影响纠纷的解决。

可能法律后果：

• 如果法院认定狗主人存在过错且需要承担责任，那么狗主人可能需要赔偿您因寻找狗而产生的费用、狗的价值损失等实际损害。
• 如果狗主人能够证明其已经尽到了合理的注意和管理义务，或者存在其他免责事由，那么狗主人可能不需要承担赔偿责任。