结论前置：在您方全责且交强险和商业险不在同一公司的情况下，处理交通事故赔偿的流程主要是先由交强险在其赔偿限额内进行赔付，不足部分再由商业险根据保险合同进行补充赔付。以下是详细解释和操作建议：
一、交强险的赔付
赔付范围与限额：
- 交强险是强制性的车辆保险，主要赔付因交通事故造成第三方（不包括本车人员和被保险人）的人身伤亡和财产损失。
- 赔付限额通常包括死亡伤残赔偿限额、医疗费用赔偿限额和财产损失赔偿限额，具体数额根据当地法规和保险条款确定。
赔付流程：
- 在事故发生后，及时向交警部门报案，并获取事故认定书。
- 向交强险的承保公司报案，提供事故认定书、驾驶证、行驶证等相关资料。
- 承保公司会根据事故情况和保险条款进行定损和赔付。
二、商业险的赔付
赔付范围与条件：
- 商业险是车主自愿购买的保险，赔付范围通常比交强险更广泛，包括车辆损失险、第三者责任险、车上人员责任险等。
- 在您方全责的情况下，商业险中的第三者责任险将用于赔付交强险赔付不足的部分。
赔付流程：
- 在交强险赔付后，如果仍有不足部分，及时向商业险的承保公司报案。
- 提供与交强险赔付相同的资料，以及交强险的赔付凭证和赔付金额说明。
- 商业险承保公司会根据保险合同和事故情况进行定损和赔付。
三、特殊情况与注意事项
免赔条款：
- 商业险中可能包含免赔条款，如事故责任免赔率、绝对免赔额等。在赔付前，请仔细阅读保险合同，了解免赔条款的具体内容。
- 如果存在免赔情况，您可能需要自行承担部分赔偿责任。
赔付顺序：
- 在处理赔偿时，应遵循先交强险后商业险的赔付顺序。即先由交强险在其赔偿限额内进行赔付，不足部分再由商业险进行补充赔付。
沟通与协调：
- 在处理赔偿过程中，保持与两家保险公司的良好沟通，及时提供所需资料，确保赔付流程顺利进行。
- 如果遇到赔付争议或问题，可以寻求法律援助或咨询专业律师（即我本人，吕玲玉律师，专注于离婚财产纠纷、交通事故赔偿、合同纠纷领域），以维护您的合法权益。
总结与建议：在您方全责且交强险和商业险不在同一公司的情况下，处理交通事故赔偿需要遵循一定的流程和顺序。建议您在处理赔偿时保持冷静和耐心，及时与保险公司沟通并提供所需资料。如果遇到任何问题或争议，可以随时向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。