结论前置：在交通事故中，若对方全责且其交强险与商业险分属不同保险公司，处理流程主要分为报案定损、交强险赔付、商业险赔付及后续追偿或诉讼四个阶段，需按顺序推进并保留完整证据。以下是具体处理步骤及法律依据：

1. 报案与定损：同时通知两家保险公司

• 操作要点：事故发生后，立即报警并联系对方驾驶员，要求其同时通知交强险承保公司（如人保、平安等）和商业险承保公司（可能为另一家保险公司）到场查勘。若对方不配合，可自行拍摄现场照片、视频，记录对方车牌、驾驶证、保险单信息，并拨打两家保险公司客服电话报案。
• 法律依据：根据《机动车交通事故责任强制保险条例》第27条，被保险机动车发生道路交通事故，被保险人或受害人应通知保险公司。保险公司需及时查勘定损。

2. 交强险优先赔付：限额内全额赔偿

• 赔付范围：交强险财产损失限额2000元，医疗费用限额1.8万元，死亡伤残限额18万元。若损失在交强险限额内，由交强险公司直接赔付，无需动用商业险。
• 操作示例：若车辆维修费为1500元，医疗费为5000元，则交强险公司赔付1500元（财产损失）+5000元（医疗费）=6500元。
• 注意事项：交强险不赔付己方车辆损失（仅赔付对方损失），若对方无责，其交强险不赔付己方。

3. 商业险补充赔付：超出交强险部分由商业险承担

• 赔付条件：若损失超过交强险限额（如车辆维修费3万元，交强险仅赔2000元），剩余2.8万元由对方商业险公司赔付。
• 操作流程：
  1. 提交定损报告、维修发票、医疗单据等证据给对方商业险公司；
  2. 商业险公司审核后，在责任范围内赔付剩余金额；
  3. 若商业险不足（如未投保足额险种），由对方驾驶员个人承担。
• 法律依据：根据《保险法》第65条，保险人对责任保险的被保险人给第三者造成的损害，可依照法律或合同约定直接向第三者赔偿。

4. 特殊情况处理：对方不配合或保险公司拒赔

• 对方拒不配合：若对方拒绝提供保险信息或拒不报案，可向交警部门申请调取保险信息，或直接起诉对方及两家保险公司，要求连带赔偿。
• 保险公司拒赔：若保险公司以“未及时报案”“证据不足”等理由拒赔，需收集完整证据（如现场照片、报警记录、定损单等），通过诉讼主张权利。
• 诉讼建议：可同时起诉对方驾驶员、交强险公司、商业险公司，要求在各自责任范围内赔偿。法院会根据保险合同和事故责任划分赔偿义务。

5. 证据保留与诉讼准备

• 关键证据：事故认定书、对方驾驶证/行驶证、保险单、定损报告、维修发票、医疗记录、现场照片/视频等。
• 诉讼时效：人身损害赔偿诉讼时效为3年，自知道或应当知道权利受损之日起计算。

总结：对方全责且交强险与商业险分属不同公司时，需按“交强险优先→商业险补充”顺序索赔，保留完整证据，若遇纠纷可诉讼解决。如有进一步问题，可直接向我咨询。