托管机构是否需要承担孩子受伤后的补课费，需根据具体情况判断，主要取决于托管机构是否存在过错以及过错与孩子受伤之间的因果关系。具体分析如下：

1. 若托管机构存在过错且过错导致孩子受伤：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十九条，无民事行为能力人在幼儿园、学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害的，教育机构应当承担侵权责任；但是，能够证明尽到教育、管理职责的，不承担侵权责任。对于限制民事行为能力人，则适用第一千二百条，即教育机构未尽到教育、管理职责的，应当承担侵权责任。
   • 在此情况下，如果托管机构未尽到安全保障义务，如未提供安全的设施、未进行必要的安全教育、未及时制止危险行为等，导致孩子受伤，那么托管机构应当承担相应的赔偿责任。这包括孩子的医疗费、护理费、交通费等合理费用，以及因受伤导致的补课费等间接损失（如果补课费被认定为合理且必要的支出）。

2. 若托管机构不存在过错或过错与孩子受伤无因果关系：

   • 如果托管机构已经尽到了安全保障义务，孩子受伤是由于自身原因（如嬉戏打闹、不听劝阻等）或第三方原因（如其他孩子故意伤害）导致的，那么托管机构通常不需要承担赔偿责任。
   • 在这种情况下，孩子的补课费等损失应由责任方（如孩子自身、其他孩子的家长等）承担。如果无法确定责任方或责任方无力承担，那么孩子家长可能需要自行承担这部分损失。

3. 关于家长同意外出的问题：

   • 家长同意孩子外出并不意味着托管机构可以免除所有责任。托管机构仍然需要确保孩子在托管期间的安全，包括外出时的安全。
   • 如果托管机构在孩子外出时未尽到必要的监护和管理职责，导致孩子受伤，那么托管机构仍然需要承担相应的责任。

建议：

• 如果孩子受伤且需要补课，家长应首先与托管机构协商解决赔偿问题。在协商过程中，家长可以提供相关证据（如医疗记录、补课费发票等）来支持自己的主张。
• 如果协商无果，家长可以考虑通过法律途径解决争议。在此过程中，建议家长咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。