结论：是否可以不赡养继父，不能仅凭继父在母亲生病时不出钱也不照顾这一行为直接判定，而是需要综合考虑继父是否对母亲或你尽到了抚养教育义务等多种因素。

详细分析：

1. 继父母与继子女间的权利义务关系：

   • 根据相关法律规定，继父母与继子女间，不得虐待或者歧视。继父或继母和受其抚养教育的继子女间的权利义务关系，适用法律关于父母子女关系的规定。这意味着，如果继父在母亲与你共同生活期间，对你进行了抚养教育，那么你与继父之间就形成了法律上的权利义务关系，你就有义务赡养继父。

2. 继父是否尽到抚养教育义务：

   • 抚养教育义务的判断是关键。如果继父在母亲与你共同生活期间，不仅在经济上给予支持，还在生活上给予照顾，在教育上给予引导，那么可以认为继父尽到了抚养教育义务。在这种情况下，即使继父在母亲生病时没有出钱或照顾，也不能成为你拒绝赡养继父的理由。因为赡养义务是基于长期的抚养教育关系而产生的，不能因一时的行为而否定。
   • 反之，如果继父从未对你进行过抚养教育，或者抚养教育的时间很短且未形成实质性的抚养关系，那么你可能没有义务赡养继父。但这种情况需要具体的证据来支持，比如继父与你共同生活的时间、继父是否为你提供过生活费用、教育费用等。

3. 母亲去世后的赡养义务：

   • 母亲去世并不改变你与继父之间可能存在的法律关系。如果继父之前对你尽到了抚养教育义务，那么你仍然有义务赡养继父。赡养义务是法定的，不因被赡养人的配偶去世而消灭。

4. 特殊情况下的考虑：

   • 如果继父存在虐待、遗弃等严重违法行为，或者继父有足够的经济能力且拒绝你的赡养请求，那么这些情况可能作为你拒绝赡养继父的合理理由。但同样，这些情况需要具体的证据来支持，并且需要经过法律程序的认定。

建议：

• 在处理这类问题时，建议你先收集相关证据，如继父与你共同生活的时间、继父是否为你提供过生活费用和教育费用等，以证明继父是否对你尽到了抚养教育义务。
• 如果继父确实对你尽到了抚养教育义务，那么你应该履行赡养义务。如果继父没有尽到抚养教育义务，或者存在其他合理理由拒绝赡养，你可以考虑通过法律途径解决争议。
• 在任何情况下，都建议你保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果需要进一步的法律帮助或咨询，可以直接向我提问。