结论：父母离婚后，父亲不给孩子抚养费，一般不构成遗弃罪，而属于民事违约行为。但在特殊情况下，若拒付行为导致子女生活陷入极度困境且情节恶劣，也可能构成遗弃罪。

一、遗弃罪与拒付抚养费的界定

1. 遗弃罪定义： 遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，且情节恶劣的行为。这里的“情节恶劣”通常指因遗弃致使被害人重伤、死亡，或被害人因被遗弃而生活无着、流离失所、被迫乞讨，甚至自杀等情形。

2. 拒付抚养费性质： 拒付抚养费主要是经济上的违约行为，它并不直接涉及对子女生活照顾等其他扶养义务的违反。父亲对子女有支付抚养费的法定义务，但仅不支付抚养费，并未同时伴随其他严重的拒绝扶养行为，如拒绝提供生活照顾、医疗救助等，一般不会被认定为遗弃罪。

二、法律途径与责任承担

1. 民事诉讼： 若父亲拒不支付抚养费，子女的监护人（通常是与子女共同生活的一方）可以通过民事诉讼的途径，向法院起诉要求父亲支付抚养费。法院会根据子女的实际需要、父母的负担能力和当地的实际生活水平等因素，判决父亲支付一定数额的抚养费，并明确支付方式和时间。

2. 强制执行： 若法院判决后，父亲仍不履行支付义务，抚养方可以向法院申请强制执行。法院可采取查封、扣押、冻结财产等措施来保障抚养费的支付。若父亲有能力执行而拒不执行，法院还可以对其采取罚款、拘留等强制措施，甚至可能构成拒不执行判决、裁定罪。

3. 刑事责任： 在特殊情况下，如父亲有能力支付抚养费却长期恶意拖欠，导致子女生活陷入极度困境，面临生命健康威胁，且情节恶劣（如导致子女重伤、死亡或流离失所等），可能构成遗弃罪。此时，父亲需承担相应的刑事处罚，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，可能会处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。

三、遗弃罪的构成条件详解

1. 对象条件： 遗弃罪的对象必须是年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人。在父母离婚的情况下，未成年子女显然属于这一范畴。

2. 义务条件： 行为人必须对这些对象负有扶养义务。父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务，这是法律明确规定的。

3. 行为条件： 拒绝扶养必须达到情节恶劣的程度。这不仅仅是指不支付抚养费，还包括拒绝提供生活照顾、医疗救助等其他扶养义务，且因这些拒绝行为导致子女生活陷入严重困境或面临生存威胁。

四、实际案例与法律建议

• 实际案例： 假设某父亲与母亲离婚后，长期拒不支付抚养费，且对子女的生活不闻不问，导致子女生活陷入极度困境，甚至面临饥饿和疾病威胁。在这种情况下，若母亲能够提供充分证据证明父亲的拒付行为及其导致的严重后果，父亲可能构成遗弃罪。

• 法律建议：

  1. 父亲应履行支付抚养费的法定义务，避免不必要的法律纠纷和不良后果。
  2. 子女的监护人应积极通过法律途径维护子女的合法权益，包括提起民事诉讼和申请强制执行等。
  3. 在整个过程中，建议寻求专业法律人士的帮助，以确保合法权益得到有效维护。

总结：父母离婚后，父亲不给孩子抚养费一般不构成遗弃罪，而是属于民事违约行为。但在特殊情况下，若拒付行为导致子女生活陷入极度困境且情节恶劣，也可能构成遗弃罪并承担刑事责任。因此，建议父亲应履行支付抚养费的法定义务，同时子女的监护人也应积极通过法律途径维护子女的合法权益。若您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。