核心前提：您的狗咬伤了他人，对方第二天自行注射疫苗后要求您报销相关费用。

结论与详细分析：

1. 法律责任角度：

   • 根据《中华人民共和国民法典》侵权责任编的相关规定，动物饲养人或管理人对其饲养的动物造成他人损害的，应当承担侵权责任。这意味着，如果您的狗咬伤了他人，您原则上需要承担对方因此产生的合理医疗费用，包括疫苗注射费用。
   • 对方在受伤后第二天自行前往注射疫苗，这一行为本身是合理的预防措施，旨在防止狂犬病等潜在严重疾病的发生。因此，从法律责任的角度来看，您应当承担这部分费用。

2. 费用合理性角度：

   • 您在承担费用时，有权要求对方提供相关的医疗证明和费用发票，以确认费用的合理性和必要性。如果对方能够提供这些证明，那么您应当按照实际发生的费用进行报销。
   • 如果对方无法提供合理的医疗证明或费用发票，或者您认为费用过高且不合理，您可以与对方协商解决，或者通过法律途径进行裁决。

3. 实际操作建议：

   • 在与对方沟通时，保持冷静和理性，了解对方的具体诉求和依据。
   • 要求对方提供相关的医疗证明和费用发票，以便您进行核实和报销。
   • 如果双方无法达成一致，可以考虑通过调解、仲裁或诉讼等法律途径解决纠纷。

总结与建议：

• 从法律责任的角度来看，您应当承担对方因狗咬伤而产生的合理医疗费用，包括疫苗注射费用。
• 在实际操作中，要求对方提供相关的医疗证明和费用发票，以确保费用的合理性和必要性。
• 如果双方无法就费用问题达成一致，建议通过法律途径解决纠纷，以维护双方的合法权益。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。