当您在交通事故中与对方私了后，若对方未按约定支付赔偿款项，您可以按照以下详细步骤来依法处理，以维护自己的合法权益：

一、首选沟通协商

1. 主动联系对方：首先，尝试通过电话、短信、微信等渠道与对方取得联系，礼貌且明确地提醒其履行私了协议中的支付义务。在此过程中，务必保留好相关的聊天记录或通话录音，这些将作为后续维权的重要证据。

2. 了解原因并协商：询问对方不履行支付义务的具体原因。如果对方因资金周转困难等暂时无法支付，您可以考虑与对方协商一个新的付款时间，并签订补充协议，明确新的付款日期以及违约责任，以确保自己的权益不受进一步损害。

二、寻求第三方调解

1. 交警部门调解：如果您在事故发生时已经向交警部门报案，并且双方在事故认定书上签字同意私了，但后来就赔偿问题产生争议，那么您可以向处理该事故的交警部门申请调解。交警部门会根据事故的具体情况和相关法律法规，协助双方进行协商，以达成赔偿协议。

2. 人民调解委员会调解：除了交警部门，您还可以向当地的人民调解委员会申请调解。人民调解委员会是依法设立的调解民间纠纷的群众性组织，其调解结果具有一定的法律效力。通过人民调解委员会的调解，您可以更专业、中立地解决与对方的纠纷。

3. 其他调解机构：此外，您还可以考虑邀请社区调解中心或专业的交通事故调解机构进行调解。这些机构通常具有丰富的调解经验和专业知识，能够为您提供更有效的调解服务。

三、准备起诉材料并提起诉讼

1. 收集证据材料：如果协商和调解均无法解决问题，那么您需要准备充分的证据材料来支持自己的诉讼请求。这些证据材料包括但不限于事故现场照片、视频、交警出具的事故责任认定书、私了协议（无论是书面还是电子形式）、损失证明（如车辆维修发票、医疗费发票等）。

2. 确定管辖法院：根据事故发生地或被告住所地选择方便诉讼的法院。这将有助于您在后续的法律程序中更便捷地参与诉讼。

3. 起草起诉状：明确原被告信息、诉讼请求、事实与理由，详细陈述事故经过、私了情况及对方违约事实。起诉状是您向法院表达诉求的重要文件，务必确保内容清晰、准确、完整。

4. 提交诉讼材料并缴纳诉讼费用：将起诉状和证据材料一式多份提交给选定法院，并按照法院的要求缴纳诉讼费用。这是启动法律程序的重要步骤。

5. 参加庭审：按法官指引陈述案件事实、出示证据、进行辩论。在庭审过程中，您需要保持冷静和理性，清晰表达自己的诉求和理由。

四、执行判决

1. 申请强制执行：如果法院判决您胜诉但对方拒不履行赔偿义务，那么您可以在判决生效后两年内向法院申请强制执行。这是维护自己权益的最后一道法律屏障。

2. 配合执行工作：在执行过程中，您需要积极配合法院的工作，提供被执行人的财产线索等信息。法院将根据这些信息采取有效的执行措施，如查询、冻结、划拨银行存款，查封、扣押、拍卖财产等，以实现您的债权。

五、注意事项

• 在整个处理过程中，请务必保持冷静和理性，遵循法律程序。不要采取过激行为或言语攻击对方，以免给自己带来不必要的麻烦。
• 注意保护个人信息和隐私，避免在公开场合或与不相关的人透露过多个人信息。
• 如果您对法律程序不熟悉或担心自己无法有效维权，建议及时咨询专业律师的意见和帮助。律师将能够为您提供更具体、专业的法律建议和指导。