核心结论：抚养费判决书下来后，过去多年孩子住院看病产生的费用，可通过与对方协商、申请法院强制执行（若原判决已涵盖后续医疗费用）或另行起诉（若原判决未涵盖或情况有重大变化）等方式来主张权利。以下是具体分析：

1. 审查原判决书内容

   • 首先，需要仔细审查原抚养费判决书的具体内容，特别是关于医疗费用的部分。如果原判决已经明确包含了孩子未来可能产生的医疗费用，并且规定了支付方式和期限，那么可以直接依据该判决向法院申请强制执行，要求对方支付过去多年孩子住院看病的费用。

2. 与对方协商

   • 如果原判决未明确涵盖后续医疗费用，或者虽然涵盖了但情况发生了重大变化（如孩子患重大疾病需要高额医疗费用），可以尝试与对方进行协商，就过去多年孩子住院看病的费用达成新的支付协议。协商时，应提供充分的医疗费用证据，如医院发票、诊断证明等，以支持自己的主张。

3. 另行起诉主张权利

   • 如果协商无果，或者对方拒绝支付，可以考虑向法院另行起诉，要求对方支付过去多年孩子住院看病的费用。在起诉时，需要准备充分的证据，包括但不限于：
     • 原抚养费判决书，以证明双方存在抚养关系及对方应支付抚养费的义务；
     • 孩子住院看病的医疗费用发票、诊断证明、病历等，以证明实际产生的医疗费用；
     • 其他相关证据，如与对方协商的记录、证人证言等，以支持自己的主张。
   • 法院在审理此类案件时，会综合考虑原判决的内容、双方的经济状况、孩子的实际需要以及医疗费用的合理性等因素，作出公正的裁决。

4. 注意事项

   • 在主张权利的过程中，应注意保留好所有相关证据，以便在需要时提供给法院；
   • 如果对方确实存在经济困难，无法一次性支付全部费用，可以考虑与对方协商分期支付的方式；
   • 如果对方拒不履行法院判决或调解协议，可以向法院申请强制执行，包括但不限于查封、扣押、拍卖对方的财产等措施。