针对您提出的问题，即“父亲去世，母亲放弃监护权，将监护权让给哥哥，哥哥能不能给妹妹申请国家补贴”，我们可以从以下几个方面进行详细解答：
首先，我们需要明确的是，国家补贴（在此情境下，主要指的是孤儿基本生活费）的发放对象是失去父母、查找不到生父母的未成年人。这是根据民政部、财政部关于发放孤儿基本生活费的通知中的明确规定。
接下来，我们分析您家庭的具体情况：
父亲去世：这满足了孤儿基本生活费发放条件中的“失去父母”这一要求。
母亲放弃监护权：母亲放弃监护权并不改变妹妹作为未成年人的身份，也不影响她作为孤儿基本生活费发放对象的资格。但关键在于，母亲放弃监护权后，妹妹的监护权转移给了哥哥。
哥哥作为监护人：既然哥哥现在成为了妹妹的监护人，那么他就有了为妹妹申请相关福利和补贴的法定责任和权利。
现在，我们具体回答您的问题：
哥哥能不能给妹妹申请国家补贴？
答案是肯定的。哥哥作为妹妹的监护人，有权也有责任为妹妹申请孤儿基本生活费等国家补贴。申请时，需要按照当地民政部门的要求，提供妹妹的父母死亡证明（或人民法院宣告父母死亡或失踪的证明）以及哥哥作为监护人的相关证明文件。
此外，我们还想提醒您几点：
申请流程：哥哥需要向妹妹户籍所在地的街道办事处或乡（镇）人民政府提出申请，并按照规定的流程进行审核和审批。
资金发放：一旦申请获批，孤儿基本生活费将直接拨付到妹妹或其监护人（即哥哥）的个人账户。
动态管理：街道办事处、乡（镇）人民政府和县级人民政府民政部门会对孤儿保障情况进行动态管理，哥哥需要配合相关部门的工作，确保妹妹能够持续享受到应有的福利。
法律责任：哥哥作为监护人，需要依法履行监护职责和抚养义务，确保妹妹的健康成长和基本生活需求得到满足。
综上所述，哥哥作为妹妹的监护人，完全有权也有责任为妹妹申请国家补贴。希望这个解答能够帮助到您，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。