结论前置：单位不续签合同并辞退员工时，赔偿问题需根据具体情况判断，主要包括经济补偿金、双倍工资赔偿及违法辞退的赔偿金等。以下是详细分析：
一、劳动合同期满，单位主动提出不续签并辞退员工
经济补偿计算标准：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作年限不足一年的部分，按比例计算，如工作8个月则支付半个月工资）。
- 举例：小李在某单位工作3年8个月，合同到期后单位不续签并辞退，小李平均工资5000元。单位应支付4个月工资作为经济补偿，即20000元。
特殊情况（高薪劳动者）：
- 若劳动者月工资高于所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
二、劳动合同到期后，员工继续工作，单位未续签又辞退员工
双倍工资赔偿：
- 根据法律规定，自用工之日起超过一个月不满一年未订立书面劳动合同的，用人单位应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，若劳动合同到期后，员工继续工作而单位未续签，且超过一个月不满一年，单位需支付双倍工资差额。
- 举例：小张合同到期后继续在单位工作5个月未续签，后被无正当理由辞退，平均工资6000元。小张可要求4个月双倍工资差额24000元（从第二个月起算，即4个月×6000元/月×2-已支付的4个月工资=24000元，此处简化计算，实际为差额部分）。
经济补偿或赔偿金：
- 如单位是合法辞退（如经济性裁员），按照上述经济补偿金的标准支付。
- 如单位是违法辞退（如无正当理由），则需依照经济补偿金标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 举例：接上例，小张被违法辞退，除双倍工资差额外，还可要求2.5个月工资的两倍作为赔偿金，即30000元（2.5个月×6000元/月×2）。总计可获得赔偿54000元。
三、违法终止劳动合同的额外赔偿
- 如果用人单位违反《劳动合同法》规定终止劳动合同，如在劳动者处于孕期、产期、哺乳期等法定不得终止劳动合同的情形下终止合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
四、其他注意事项
提前通知：
- 在某些地区，如北京，劳动合同到期不续签可能需要提前30天书面通知员工。这种情况下，赔偿标准可能会因地区规定而有所不同，可能出现“N+1”的赔偿方式，即除了按工作年限计算的经济补偿外，还需额外支付一个月工资作为通知金。但并非所有地区都有此规定，需根据当地法规判断。
双方均未提出续签：
- 劳动合同期满，若双方均未提出续签，通常按照单位原因导致未续签的规则判断是否需要支付赔偿。即，若非因劳动者原因导致未续签，单位仍需支付经济补偿。
维权途径：
- 若单位不依法支付经济补偿或赔偿金，劳动者可通过协商、申请劳动仲裁、提起诉讼等合法途径维护自身权益。在此过程中，保留好相关证据（如劳动合同、工资单、工作记录、辞退通知等）至关重要。
综合建议：面对单位不续签合同且辞退的情况，劳动者应首先尝试与单位协商赔偿事宜。若协商不成，可及时咨询专业律师（即我本人，马昭鹏律师，专注于医疗纠纷、劳动工伤等领域），了解当地具体法规和维权途径，以维护自身合法权益。