结论：在不涉及国家秘密、商业秘密和个人隐私的前提下，劳动仲裁案件的当事人及其合法代理人有权按照法定程序申请复印庭审记录。以下是详细的解答与分析：

一、法律依据与权利基础

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，仲裁庭应当将开庭情况记入笔录，这是庭审记录的法律基础。同时，该法律并未明确禁止当事人复印开庭笔录，反而通过公开审理原则（除非涉及国家秘密、商业秘密或个人隐私等特殊情况）为当事人查阅和复印庭审笔录提供了法律支持。因此，当事人有权在符合法律法规的前提下，申请复印劳动仲裁庭审记录。

二、申请复印的主体与条件

1. 申请主体：案件当事人（劳动者和用人单位）及其合法代理人（包括律师、基层法律服务工作者、近亲属或工作人员等符合法律规定的人员）均有权申请复印庭审记录。
2. 申请条件：申请复印的庭审记录不得涉及国家秘密、商业秘密或个人隐私等敏感信息。若涉及这些信息，当事人可能无法直接复印，而需通过其他合法途径获取所需信息或证据。

三、申请复印的流程与注意事项

1. 准备申请材料：

   • 申请书：包含申请人基本信息、申请复印的具体案号、案由、原因及签名/盖章。
   • 身份证明：个人提供身份证原件及复印件；单位提供营业执照副本复印件、法定代表人身份证明书及身份证复印件。代理人还需提供授权委托书及身份证明。
   • 其他材料：可能包括案件受理通知书、仲裁申请书等，具体根据仲裁机构要求准备。

2. 提交申请：

   • 将申请材料提交至承办该案的劳动争议仲裁委员会，可通过书面或电子方式（根据仲裁机构要求）进行提交。

3. 等待审核与处理：

   • 仲裁机构将对申请材料进行审核，核实申请人身份和申请的合理性。
   • 若申请符合要求，仲裁机构将安排复印并告知具体复印时间、地点等安排。一般会在一定工作日内给予答复。

4. 完成复印与注意事项：

   • 按照仲裁机构的安排，在指定时间、地点进行复印，可能需要支付复印费用（以仲裁机构规定为准）。
   • 确保复印内容清晰、完整，仲裁机构可能会对复印件加盖公章或证明章以确认其真实性。
   • 遵守仲裁机构的相关规定和保密要求，不得将复印的记录用于非法或不当目的。

四、特殊情况的处理

若庭审记录涉及国家秘密、商业秘密或个人隐私等敏感信息，当事人应严格遵守相关法律法规，保护相关方的合法权益不受侵犯。在这种情况下，当事人可通过其他合法途径获取所需信息或证据，如向仲裁机构申请查阅但不予复印，或通过法律程序申请调取相关证据等。

五、后续建议

如对仲裁结果不认可或有其他法律需求，建议及时向我咨询以获取更详细的法律建议和帮助。作为专业律师，我将根据你的具体情况提供个性化的法律解决方案。

综上所述，劳动仲裁庭审记录的复印权利是当事人合法权益的重要组成部分。在符合相关法律法规的前提下，当事人应充分利用这一权利，为自己后续的法律程序提供有力支持。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。