结论：要证明父亲住院期间被其中一子女取走的银行存款是赠予还是保管，关键在于收集并分析相关证据，以明确父亲的真实意图。这通常涉及对书面证据、证人证言以及行为表现的综合考量。
分析说明：
书面证据：
- 赠予协议：如果父亲在取款前或取款时，与取款子女签订了书面的赠予协议，明确表示将银行存款赠予该子女，那么这将是证明赠予关系存在的直接证据。
- 保管协议：相反，如果父亲与取款子女之间签订了书面的保管协议，约定由该子女代为保管银行存款，并在特定条件下归还，那么这将是证明保管关系存在的直接证据。
证人证言：
- 家庭成员或亲友的证言：其他家庭成员或亲友可能目睹或知晓父亲与取款子女之间的约定或行为，他们的证言可以作为辅助证据，帮助证明是赠予还是保管。
- 医护人员的证言：如果父亲在住院期间与医护人员提及过银行存款的处理事宜，医护人员的证言也可能具有一定的证明力。
行为表现：
- 赠予行为：如果父亲在取款后，对取款子女表示了赠予的意愿，如口头表达、书面留言或通过其他方式表明，且取款子女也接受了这一赠予，那么这可以视为赠予行为的实际发生。
- 保管行为：如果父亲在取款后，仍然对银行存款保持一定的控制权，如要求取款子女定期汇报存款情况、在特定情况下要求归还等，那么这可以视为保管行为的实际发生。
特殊场景：
- 父亲无法表达意愿：如果父亲在住院期间因病情严重无法表达自己的真实意愿，那么需要综合考虑其他证据，如父亲之前的意愿表示、家庭习惯、子女与父亲的关系等，来推断父亲的真实意图。
- 存在争议：如果家庭成员之间对银行存款的处理存在争议，且无法通过协商解决，那么可能需要通过法律途径，如诉讼或调解，来明确是赠予还是保管。
行动建议：
- 收集证据：首先，应尽可能收集与银行存款处理相关的所有证据，包括书面证据、证人证言以及行为表现等。
- 协商解决：在收集到足够证据后，可以尝试与取款子女进行协商，寻求和解或达成一致意见。
- 法律途径：如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决争议，如向法院提起诉讼或申请调解等。在此过程中，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
后续思考依据：
在处理此类家庭财产纠纷时，关键在于明确父亲的真实意图，并收集足够的证据来支持这一意图。由于家庭关系的复杂性和情感因素的介入，此类纠纷往往难以通过简单的协商解决。因此，在必要时，应寻求法律途径来维护自己的合法权益。如果你在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。