针对交通事故责任认定书出具后，肇事者不履行赔偿义务的情况，您可以采取以下法律措施来维护自己的合法权益：

1. 协商与调解：

   • 协商：首先，您可以尝试与肇事者进行友好协商，明确赔偿金额和支付方式，看是否能够达成和解协议。这种方式成本较低，且能快速解决纠纷。
   • 调解：如果协商无果，您可以向当地的交通事故调解委员会或人民调解委员会申请调解。调解委员会会组织双方进行调解，并尝试促成双方达成赔偿协议。

2. 申请强制执行（若已有生效法律文书）：

   • 前提条件：若您已通过诉讼或仲裁等途径获得了生效的赔偿判决书或裁决书，但肇事者仍不履行赔偿义务，您可以向法院申请强制执行。
   • 执行程序：法院在受理强制执行申请后，会依法对肇事者的财产进行查封、扣押、冻结或拍卖等措施，以强制其履行赔偿义务。

3. 提起诉讼：

   • 起诉条件：若您尚未通过诉讼途径解决赔偿问题，且肇事者拒绝赔偿，您可以向法院提起民事诉讼，要求肇事者承担赔偿责任。
   • 诉讼流程：在诉讼过程中，您需要提交相关证据，如交通事故责任认定书、医疗费用单据、误工证明等，以证明您的损失和肇事者的责任。法院在审理后，会依法作出判决，要求肇事者赔偿您的损失。
   • 诉讼结果：若判决生效后，肇事者仍不履行赔偿义务，您同样可以申请法院强制执行。

4. 申请先予执行（紧急情况下）：

   • 适用条件：在诉讼过程中，如果您因交通事故导致生活困难或医疗费用急需支付等紧急情况，可以向法院申请先予执行。
   • 执行内容：法院在审查后，认为符合先予执行条件的，会裁定肇事者先行支付部分或全部赔偿费用，以解您的燃眉之急。

5. 注意诉讼时效：

   • 时效规定：根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，您需要在知道或应当知道权利受到损害之日起三年内提起诉讼，否则可能会丧失胜诉权。

在处理此类纠纷时，建议您注意以下几点：

• 保留证据：务必保留好所有与交通事故相关的证据，如责任认定书、医疗记录、费用单据等，以便在协商、调解或诉讼过程中证明自己的损失和肇事者的责任。
• 及时行动：一旦发现肇事者不履行赔偿义务，应尽快采取法律措施，避免超过诉讼时效或错过最佳处理时机。
• 寻求专业帮助：如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保护。

若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。作为专注于交通事故领域的专业律师，我将竭诚为您提供专业的法律服务和支持。