核心前提：存在婚外情关系，其中一方在两年内向另一方转账累计一万元，现希望不起诉，通过私下方式归还该款项。

结论与详细解答：

1. 直接沟通协商：

   • 步骤说明：最直接且成本最低的方式是双方进行坦诚的沟通，就转账的款项达成归还的共识。可以明确约定归还的时间、方式（如一次性归还或分期归还）以及是否需要支付利息等。
   • 注意事项：在沟通过程中，建议保留好相关的转账记录、聊天记录等证据，以备不时之需。同时，双方应确保沟通内容合法合规，不涉及任何违法或不当行为。

2. 签订书面协议：

   • 步骤说明：为了确保双方权益，可以签订一份书面协议，明确约定转账款项的归还事宜。协议中应包含双方的基本信息、转账金额、归还时间、归还方式、违约责任等条款。
   • 注意事项：协议内容应合法合规，不得违反法律法规的强制性规定。签订协议时，建议双方都在场，并各自保留一份协议原件。如有必要，可以请第三方见证或进行公证。

3. 通过第三方调解：

   • 步骤说明：如果双方沟通无果或存在争议，可以考虑通过第三方调解机构进行调解。调解机构可以协助双方就转账款项的归还事宜进行协商，并达成调解协议。
   • 注意事项：选择调解机构时，应确保其具有合法资质和良好信誉。调解过程中，双方应积极配合调解员的工作，如实陈述事实，提供证据。调解协议达成后，双方应认真履行协议内容。

4. 注意事项与风险提示：

   • 合法合规性：在私下归还转账款项的过程中，双方应确保所有行为都合法合规，不涉及任何违法或不当行为。否则，可能会面临法律责任和风险。
   • 证据保留：无论采取哪种方式归还转账款项，都应保留好相关证据，如转账记录、聊天记录、书面协议等。这些证据在后续可能出现的纠纷中具有重要的证明作用。
   • 避免暴力或威胁：在沟通过程中，双方应保持冷静和理性，避免使用暴力或威胁手段来解决问题。否则，可能会加剧矛盾并引发更严重的后果。

总结与建议： 私下归还婚外情期间的转账款项，最直接且有效的方式是双方进行坦诚的沟通并签订书面协议。如果沟通无果或存在争议，可以考虑通过第三方调解机构进行调解。在整个过程中，双方应确保所有行为都合法合规，并保留好相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。