一般情况下，发票没有当天开具，不会直接导致被起诉，但可能引发一系列法律后果，具体需分情况讨论：

1. 民事法律关系层面
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务或从事其他经营活动的单位和个人，在收取款项后应向付款方开具发票。若未及时开具，可能构成合同违约（如双方约定了开票时间），付款方有权要求卖方履行开票义务，并可能主张因未开票导致的损失赔偿（如无法抵扣税款、影响财务核算等）。但此情形属于民事纠纷，通常通过协商、投诉或民事诉讼解决，不会直接引发刑事起诉。

2. 行政法律责任层面
   若未按规定开具发票，税务机关可依据《发票管理办法》第三十五条责令改正，并处以罚款（如1万元以下罚款；情节严重的，可处1万元以上3万元以下罚款）。若存在虚开发票、转借发票等违法行为，还可能面临更高额罚款甚至行政拘留。但行政处罚与刑事起诉是不同性质的法律责任，行政违法不必然导致刑事起诉。

3. 刑事法律风险层面
   仅因未及时开票通常不构成犯罪。但若存在以下情形，可能涉嫌刑事犯罪：

   • 虚开发票罪：为他人、为自己开具与实际经营业务情况不符的发票，或让他人为自己开具此类发票，情节严重的（如虚开税款数额1万元以上），可能被追究刑事责任；
     
   • 逃税罪：通过不开发票隐瞒收入，逃避缴纳税款数额较大（如占应纳税额10%以上）且经税务机关通知后仍不补缴的，可能构成逃税罪。
     此类情形需以主观故意和情节严重为前提，单纯未及时开票不涉及刑事风险。

建议：

• 若因客观原因（如系统故障、人员疏忽）未及时开票，应尽快补开并说明情况，避免纠纷升级；
  
• 若对方以此为由拒付货款或主张赔偿，需结合合同约定及实际损失协商解决，必要时可通过法律途径维权；
  
• 若涉及虚开发票、逃税等行为，应立即停止并主动配合税务机关调查，以减轻法律责任。
  

如有具体案件细节或进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合实际情况为您详细分析。