结论前置：股东未按期实缴出资，公司确实可以起诉该股东，要求其履行出资义务并承担相应的法律责任。下面我将从法律依据、起诉前准备、诉讼流程以及特殊场景处理等多个角度进行详细分析。

一、法律依据

根据《中华人民共和国公司法》第二十八条的规定，股东应当按期足额缴纳公司章程中规定的各自所认缴的出资额。股东不按照前款规定缴纳出资的，除应当向公司足额缴纳外，还应当向已按期足额缴纳出资的股东承担违约责任。此外，《最高人民法院关于适用〈公司法〉若干问题的规定（三）》第十三条也明确规定，公司或者其他股东可以请求未履行或者未全面履行出资义务的股东向公司依法全面履行出资义务，人民法院应予支持。

二、起诉前准备

1. 证据收集：

   • 公司章程、股东名册、验资报告（如有）等文件，以证明股东的出资义务及未实缴的事实。
   • 催告函件及送达凭证，证明公司已合理催缴股东履行出资义务。
   • 银行流水记录或其他证明其他股东已实缴出资的证据。
   • 公司财务报表或审计报告，显示因股东未实缴出资导致的资金缺口或经营困难。

2. 确定被告：

   • 直接起诉未实缴出资的股东。
   • 若涉及多名股东未实缴，可列为共同被告。

3. 管辖法院：

   • 通常为公司住所地人民法院。

三、诉讼流程

1. 立案材料：

   • 民事起诉状，列明诉讼请求、事实与理由。
   • 原被告身份证明及公司营业执照复印件。
   • 证据清单及副本。

2. 庭审要点：

   • 证明股东身份及认缴金额。
   • 出资期限是否届满，以及是否存在加速到期的情形（如公司已具备破产原因但未申请破产，或公司债务产生后延长出资期限等）。
   • 催缴程序的合法性，需符合公司章程或法律规定。

3. 执行保障：

   • 胜诉后可申请冻结股东银行账户、股权等资产。
   • 对拒不执行的股东可采取限制高消费、列入失信名单等措施。

四、特殊场景处理

1. 出资期限未届满但公司无力偿债：

   • 可依据《全国法院民商事审判工作会议纪要》（九民纪要）第6条主张加速到期，但需提供公司资产负债表、审计报告等证据证明经营困难。

2. 股权转让后的责任划分：

   • 未实缴即转让股权的，转让人仍需承担责任。受让人明知未实缴而受让的，可能承担连带责任。

3. 代持股协议影响：

   • 实际出资人与名义股东的内部约定不得对抗外部债权人。建议将显名股东与实际出资人列为共同被告，以全面保障公司权益。

五、风险提示

1. 诉讼时效：自知道或应当知道权利受损之日起3年，需及时行使权利。
2. 举证责任：公司需承担举证责任，证明股东未履行出资义务且公司已合理催缴。若证据不足，诉讼请求可能会被驳回。
3. 反诉应对：可能被告会提出时效抗辩或主张已完成出资（需提供转账凭证、资产评估报告等反驳证据），公司需做好充分准备。

综上所述，股东未按期实缴出资时，公司有权起诉该股东并要求其履行出资义务及承担相应法律责任。在起诉前，公司应做好充分的证据收集和准备工作；在诉讼过程中，需关注庭审要点和执行保障；同时，也需注意特殊场景下的责任划分和风险提示。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。