结论：遛狗不拴绳的问题，主要由公安机关（或政府指定的其他部门）负责管理，但物业也需承担一定的辅助管理职责。

详细分析：

1. 公安机关（或政府指定部门）的管理职责：

   • 根据《中华人民共和国动物防疫法》第三十条的规定，携带犬只出户时，应当按照规定佩戴犬牌并采取系犬绳等措施，这是法律对养犬人的明确要求。
   • 公安机关（或政府指定的其他部门，如城管等）是养犬管理的主管部门，负责对违规遛狗行为进行处罚。例如，对未牵绳的犬只主人处以警告或罚款，具体罚款金额根据地方性养犬管理条例而定，如北京规定可处50元以上200元以下罚款。
   • 公安机关还负责捕捉无主犬、流浪犬，并依法进行处理，以维护公共安全和秩序。

2. 物业的辅助管理职责：

   • 物业虽然不是养犬管理的主管部门，但在小区内也承担着一定的管理职责。物业可以通过监控、巡逻等方式发现违规遛狗行为，并及时进行劝阻和上报。
   • 物业还可以在小区内设置文明养犬提示牌，提醒养犬人遵守相关规定，增强养犬人的法律意识和社会责任感。
   • 在实际案例中，如上海某小区居民多次投诉邻居遛狗不栓绳，物业在劝阻无效后报警，警方依法对犬主进行了罚款处理。这说明了物业在养犬管理中的辅助作用。

3. 其他相关方的责任：

   • 居委会也可以组织宣传教育活动，提高居民对文明养犬的认识和重视程度，调解因养犬引发的邻里纠纷。
   • 业主委员会可以制定小区内部养犬公约，明确奖惩措施，引导养犬人自觉遵守相关规定。
   • 普通居民也有权向物业、居委会或直接拨打12345/110举报违规遛狗行为，共同维护小区的公共安全和秩序。

法律建议：

• 作为养犬人，应当严格遵守相关法律法规，遛狗时务必拴绳，确保犬只不会伤人或传播疫病。
• 如果发现身边有违规遛狗行为，可以先向物业反映情况，由物业进行劝阻和上报；如果物业处理不力或情况紧急，可以直接拨打12345/110进行举报。
• 物业应当积极履行管理职责，加强巡逻和监控，及时发现和处理违规遛狗行为；同时，也可以加强与公安机关、居委会等部门的沟通协作，共同维护小区的公共安全和秩序。

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