针对您提出的“孩子在监护人看管下进入娱乐场所，对此作出行政处罚是否合理”的问题，我们可以从法律条文、实际案例以及未成年人保护的角度进行深入分析。

首先，从法律层面来看，《中华人民共和国未成年人保护法》第五十八条明确规定：“营业性歌舞娱乐场所、酒吧、互联网上网服务营业场所等不适宜未成年人活动场所的经营者，不得允许未成年人进入。”这一规定并未提及监护人看管下可以例外，因此，无论是否有监护人陪同，未成年人进入这些场所都是被法律所禁止的。

其次，从实际案例来看，如会昌县某歌厅接纳未成年人被行政处罚的案例，以及六安市某歌城接纳未成年人被查处的案例，都明确展示了对于接纳未成年人进入娱乐场所的行为，相关部门会依法进行处罚。这些处罚不仅针对娱乐场所的经营者，也体现了法律对未成年人保护的严格态度。

再者，从未成年人保护的角度来看，未成年人生理和心理上尚未成熟，自控力、判断力和自我保护能力相对较弱。营业性歌舞娱乐场所内人员复杂，环境特殊，容易对未成年人产生不良影响，甚至诱发一系列不良后果，如沾染不良社会风气、影响学业和健康成长等。因此，法律禁止未成年人进入这些场所，是为了保护他们的身心健康和合法权益。

至于您提到的“监护人看管下”的情况，虽然监护人负有保护未成年人的责任，但并不能因此改变未成年人进入不适宜场所的违法性。监护人的看管并不能消除娱乐场所对未成年人可能产生的负面影响，也不能成为娱乐场所接纳未成年人的合法理由。

综上所述，对于孩子在监护人看管下进入娱乐场所的行为，如果娱乐场所的经营者允许其进入，那么相关部门对该娱乐场所作出行政处罚是合理的，也是符合法律规定的。同时，这也提醒我们，作为监护人，应当依法履行监护职责，教育引导未成年人参与有益身心健康的活动，避免带他们进入不适宜未成年人活动的场所。