结论：公司开叉车无证属于违法行为，主要由安全生产监督管理部门（现应急管理部门）和市场监督管理部门（原质量技术监督部门）进行管理，具体职责划分需根据叉车的使用场景和性质来确定。

分析说明：

1. 安全生产监督管理部门（应急管理部门）的职责：

   • 根据《中华人民共和国安全生产法》及相关规定，安全生产监督管理部门负责对企业安全生产工作进行监督管理，包括特种设备的安全使用。叉车作为特种设备的一种，其操作人员的无证上岗行为直接关系到安全生产，因此安全生产监督管理部门有权对此类违法行为进行查处。
   • 在实际操作中，如果叉车是在工厂、仓库等生产作业场所内使用，且主要服务于生产活动，那么安全生产监督管理部门将作为主要的管理部门，对无证操作叉车的行为进行监管和处罚。

2. 市场监督管理部门（原质量技术监督部门）的职责：

   • 市场监督管理部门负责特种设备的安全监察工作，包括叉车的注册登记、定期检验以及操作人员的资格考核等。虽然直接的管理重点可能更多在于设备的本身安全，但操作人员的资格也是其监察范围之一。
   • 如果叉车的使用场景更偏向于物流、仓储等商业活动，或者涉及到叉车的租赁、销售等环节，市场监督管理部门也可能会根据具体情况对无证操作叉车的行为进行监管。

法律后果与建议：

• 法律后果：公司开叉车无证上岗，一旦被发现，将面临安全生产监督管理部门或市场监督管理部门的处罚，包括但不限于罚款、责令停产停业整顿、吊销相关证照等。同时，如果因无证操作导致事故发生，公司还将承担相应的民事赔偿责任和刑事责任。
• 建议：公司应严格遵守相关法律法规，确保叉车操作人员持有有效的特种设备作业人员证书。同时，应加强对操作人员的培训和管理，提高其安全意识和操作技能，确保叉车的安全使用。

特殊场景：

• 如果叉车是在公共场所（如商场、超市等）内使用，且主要服务于顾客的搬运需求，那么除了上述两个部门外，还可能涉及到城市管理部门或公安交通管理部门的监管，具体取决于当地的相关规定和叉车的实际使用情况。

行动建议：

• 公司应首先明确叉车的使用场景和性质，然后根据实际情况确定主要的管理部门，并主动与其沟通联系，了解相关的法律法规和监管要求。
• 公司应定期对叉车操作人员进行培训和考核，确保其持有有效的特种设备作业人员证书，并熟悉相关的安全操作规程。
• 如果公司遇到相关法律问题或需要进一步的法律咨询，可以直接向我咨询，我将根据公司的具体情况提供专业的法律意见和建议。