结论：公司司机违章罚款的承担责任需根据具体情况判断，通常遵循“谁违法、谁担责”原则，但可能因雇佣关系或合同约定产生不同处理方式。以下是对此问题的详细分析：
一、一般情况下的责任归属
个人行为：
- 如果司机的违章行为完全出于其个人原因，如超速、闯红灯等，且与公司业务无直接关联，那么罚款应由司机个人承担。这是因为这些行为违反了交通法规，是个人对法律的违背，理应由个人承担相应的法律后果。
职务行为：
- 若司机的违章行为是在执行公司任务过程中发生的，且与公司业务有直接关系（例如紧急送货、接送客户等），虽然违章行为本身仍由司机个人负责，但公司可能需要从管理角度考虑是否给予一定的支持或补偿，具体取决于公司的内部规定和实际情况。然而，这并不意味着公司必须承担罚款，而是需要根据具体情况和公司政策来决定。
二、特殊情况下的处理
公司车辆使用规定：
- 有些公司可能有明确的规定，指出在使用公司车辆期间产生的所有费用（包括违章罚款）均由司机个人承担。在这种情况下，即使违章行为发生在执行公务期间，罚款也应由司机个人支付。
公司要求违章行驶：
- 若司机是在公司指示下违章行驶，且驾驶员无力阻止，虽然直接的违章责任由司机承担，但公司也可能需要承担一定的责任。这依据《中华人民共和国民法典》中关于用人单位责任的规定，即用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。之后，用人单位可向有故意或重大过失的工作人员追偿。
保险与赔偿：
- 如果公司车辆购买了相关保险，且保险条款中包含了违章罚款的赔付范围，那么在某些情况下，保险公司可能会承担部分或全部罚款。但这需要具体查看保险合同中的条款来确定。另外，如果违章行为导致了交通事故或其他损失，还可能涉及到赔偿责任的问题，这也需要根据具体情况来判断。
公司与司机的约定：
- 除了上述一般情况和特殊情况外，公司与司机之间还可能存在特定的约定或协议。例如，双方可能在劳动合同或租赁合同中明确了违章罚款的承担方式。在这种情况下，应按照双方的约定来处理。
三、法律建议
加强交通安全教育和管理：
- 公司应加强对司机的交通安全教育和管理，提高司机的安全意识，减少违章行为的发生。
明确车辆使用和管理制度：
- 公司应建立健全的车辆使用和管理制度，明确司机在使用公司车辆时的权利和义务，以及违章行为的处理方式和责任承担。
定期查询和处理违章记录：
- 公司应定期查询车辆违章记录，并及时通知相关责任人处理。若责任人未在规定时间内处理违章，公司可从其工资中预扣违章处理费用。
保留相关证据：
- 在处理违章行为时，公司应保留相关证据，如行车记录、任务安排文件、车辆使用登记记录等，以便在需要时证明违章行为是否发生在执行工作任务期间。
后续思考依据：在处理公司司机违章罚款的承担责任问题时，需要综合考虑多种因素，包括违章行为的具体情况、公司的内部规定、保险条款以及双方的约定等。因此，在遇到具体问题时，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更准确的法律建议。