核心结论：针对食品加工厂工人无健康证工作半年这一情况，工厂可能面临行政处罚，工人与工厂的劳动关系认定及工资支付需依法处理，同时工厂应立即整改并承担相应法律责任。以下是具体分析：

1. 工厂的行政责任
   根据《食品安全法》第四十五条，食品生产经营者必须安排接触直接入口食品的工作人员持健康证上岗，否则将面临行政处罚。具体包括：

   • 处罚依据：依据《食品安全法》第一百二十六条，监管部门可责令改正，给予警告；拒不改正的，处五千元以上五万元以下罚款；情节严重的，责令停产停业直至吊销许可证。
     
   • 本案处理：工人已无证工作半年，属于“拒不改正”情形，工厂可能被处以较高额罚款（如2万-5万元），具体金额需结合当地执法标准及工厂规模、违法情节等因素综合判定。

2. 劳动关系的合法性

   • 合同效力：若工人与工厂签订了劳动合同，即使无健康证，合同仍有效（健康证非劳动合同生效要件），但工厂可能因违法用工面临劳动监察部门处罚。
     
   • 工资支付：工厂必须全额支付工人半年工资，不得以“无证”为由克扣。若工厂拒付，工人可依据《劳动合同法》第三十条申请劳动仲裁，要求支付工资及可能的经济补偿（如工厂违法解除合同）。
     
   • 解除合同：工厂若以“无健康证”为由解除合同，需证明该行为符合《劳动合同法》第三十九条“劳动者严重违反规章制度”的情形。但健康证要求属法律强制性规定，若工厂未在入职时明确告知或未提供体检机会，解除合同可能被认定为违法，需支付赔偿金（2N，N为工作年限）。

3. 工厂的整改义务

   • 立即补办：工厂应立即安排工人体检并补办健康证，若工人因健康原因无法取得证件，需调整其岗位（如从事非直接接触食品的工作）。
     
   • 制度完善：工厂需建立入职体检制度，明确健康证为上岗必备条件，并在劳动合同或规章制度中载明，避免后续纠纷。

4. 潜在刑事风险（极端情况）
   若工人因无健康证导致食品污染、引发重大食品安全事故，工厂及直接责任人可能涉嫌《刑法》第一百四十三条“生产、销售不符合安全标准的食品罪”，面临三年以下有期徒刑或拘役，并处罚金。

建议行动：

1. 工厂立即停止工人无证上岗行为，补办健康证或调整岗位；
   
2. 自查用工流程，完善体检及健康证管理制度；
   
3. 若已面临处罚或劳动纠纷，可进一步提供细节（如合同条款、当地执法标准等），我将协助分析应对策略。
   

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