在刑事诈骗案件中，控告书按好手印后，何时通知对方并没有一个固定的时间点，这主要取决于案件所处的阶段以及公安机关或检察机关的工作流程。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

1. 案件受理阶段：

   • 当受害人或相关方提交了刑事诈骗控告书，并且已经按好手印确认其真实性后，公安机关或检察机关会首先进行案件的受理工作。
   • 在这个阶段，公安机关或检察机关可能会对控告书进行初步审查，以确定是否符合立案条件。如果符合，他们会正式立案，并开始进一步的侦查工作。
   • 通知对方的时间点：在立案后，公安机关或检察机关可能会根据案件的具体情况，决定何时通知犯罪嫌疑人。这通常发生在他们已经收集到足够的证据，认为有必要对犯罪嫌疑人进行讯问或采取其他强制措施时。

2. 侦查阶段：

   • 在侦查阶段，公安机关会进行一系列的调查活动，包括收集证据、询问证人、勘验现场等。
   • 如果在这个过程中，公安机关认为需要通知犯罪嫌疑人（即控告书中的对方）到案接受讯问或配合调查，他们会根据相关法律法规的规定，发出相应的通知。
   • 通知方式：通知可能通过书面形式（如传唤证、拘传证等）进行，也可能通过电话、短信等口头方式告知，但正式的法律程序通常要求书面通知。

3. 法律程序与时间因素：

   • 刑事案件的办理需要遵循严格的法律程序，包括立案、侦查、审查起诉、审判等阶段。
   • 在每个阶段，公安机关或检察机关都有相应的工作时限和规定，但这些时限并不是固定的，而是会根据案件的具体情况、证据的收集情况等因素进行调整。
   • 因此，无法给出一个具体的时间点来回答“控告书按好手印后何时通知对方”的问题。这取决于案件的复杂程度、证据的收集情况、公安机关或检察机关的工作效率等多种因素。

4. 实际操作中的建议：

   • 如果您是控告人，并且已经提交了刑事诈骗控告书并按好手印，建议您保持与公安机关或检察机关的沟通联系，及时了解案件的进展情况。
   • 如果您对案件的办理过程有任何疑问或担忧，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。

总结来说，刑事诈骗控告书按好手印后何时通知对方并没有一个固定的时间点。这取决于案件所处的阶段、公安机关或检察机关的工作流程以及案件的具体情况。如果您对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。