针对您提出的问题，关于刚出生孩子第四个月办结婚证后随父亲上户口是否可以不做亲子鉴定，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确的是，正常婚生子女在办理上户口手续时，一般是不需要提供亲子鉴定证明的。这是因为，在正常情况下，孩子的出生医学证明和父母的结婚证已经能够充分证明孩子的身份和亲子关系。
然而，也存在一些特殊情况，这些情况下可能需要提供亲子鉴定证明。具体来说，这些情况包括但不限于：
非婚生子女：如果父母在孩子出生时并未领取结婚证，那么孩子随父亲申报出生登记时，就需要提供具有资质的鉴定机构出具的亲子鉴定证明，以证明亲子关系。
出生证明信息有误：如果孩子的出生证明上父母的名字等信息有误，或者孩子被拐卖后找回，需要确认血缘关系时，也可能需要进行亲子鉴定。
领养或再婚家庭：在领养或再婚家庭中，如果继父/继母需要给孩子落户，有时也需要证明孩子和亲生父母的关系，这时也可能需要进行亲子鉴定。
针对您的情况，孩子是在出生后第四个月办理的结婚证，且是随父亲上户口。如果孩子的出生医学证明上父母的信息准确无误，且没有其他特殊情况（如上述的非婚生、出生证明信息有误、领养或再婚等），那么在正常情况下，您是不需要提供亲子鉴定证明的。
但为了确保万无一失，我建议您在办理上户口手续前，先咨询当地公安派出所或户籍管理部门，了解具体的办理要求和流程。他们可以根据您的具体情况，给出最准确的指导和建议。
最后，我想强调的是，亲子鉴定虽然在一些特殊情况下是必要的，但它并不是一种常规的办理手续。在大多数情况下，只要您提供了完整的、准确的出生医学证明和结婚证等文件，就可以顺利办理孩子的上户口手续。希望我的解答能够对您有所帮助！