结论前置：在起诉立案后，若父子双方均同意“断绝关系”，法院通常不会直接判决“断绝关系”，因为法律上并不承认所谓的“断绝父子关系”。以下从法律角度进行详细分析：

1. 法律上不存在“断绝父子关系”的概念：

   • 在我国法律体系中，父母与子女之间的关系是基于血缘或法律程序（如收养）而建立的，这种关系具有天然的、不可割裂的性质。
   • 法律上没有“断绝父子关系”这一说法，也无法通过法律程序来实现这一目的。父母与子女之间的权利义务关系，如赡养、抚养、继承等，是受法律保护的，不能通过简单的声明或协议来解除。

2. 法院对“断绝关系”请求的处理：

   • 如果父子双方在诉讼中提出“断绝关系”的请求，法院通常会进行调解，试图化解双方之间的矛盾和冲突。
   • 若调解无果，且该请求不符合法律规定的解除亲子关系的情形（如收养关系的解除，且需符合法定条件），法院将不会支持这一请求。
   • 法院可能会根据具体情况，就双方之间的具体纠纷（如赡养费、财产分割等）进行判决或调解。

3. 可能涉及的具体法律纠纷及处理：

   • 赡养纠纷：如果父子之间的纠纷主要围绕赡养问题展开，法院将根据《民法典》中关于赡养义务的规定，判决子女承担相应的赡养责任。
   • 财产纠纷：如果涉及财产分割或继承问题，法院将依据《民法典》中关于继承和财产分割的规定，进行公正的裁决。
   • 其他纠纷：对于其他类型的纠纷，如名誉权、隐私权等，法院也将根据相关法律法规进行审理和判决。

4. 建议与提醒：

   • 父子之间的关系是复杂而微妙的，涉及情感、道德和法律等多个层面。在处理这类纠纷时，建议双方保持冷静和理性，通过沟通、协商或调解等方式来解决问题。
   • 如果确实无法协商解决，且涉及法律纠纷，建议及时寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。

总结：法律上并不承认“断绝父子关系”的说法，也无法通过法律程序来实现这一目的。在起诉立案后，若父子双方均提出此类请求，法院通常会进行调解或就具体纠纷进行判决。因此，建议双方在处理这类问题时保持理性，寻求合法合理的解决方案。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。