结论：邻居私自砍伐您家五年的梧桐树，属于侵犯您财产权的行为，您有权要求邻居承担相应的法律责任，包括赔偿损失、恢复原状等。

法律背景与依据：

1. 财产权保护：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，公民的合法财产受法律保护，禁止任何组织或者个人侵占、哄抢、破坏。梧桐树作为您家的财产，其所有权受法律保护，邻居未经允许私自砍伐，构成侵权。

2. 侵权责任：邻居的行为侵犯了您的财产权，根据《民法典》中关于侵权责任的规定，您有权要求邻居承担侵权责任，包括赔偿因砍伐树木所造成的直接经济损失，如树木的价值、因砍伐导致的其他损失等。

法律建议与行动步骤：

1. 收集证据：

   • 拍照或录像记录砍伐现场，包括被砍伐的梧桐树、砍伐工具、邻居的参与情况等。
   • 寻找目击证人，如邻居、路人等，并记录他们的联系方式和证言。
   • 保留与邻居沟通的记录，如短信、微信聊天记录等，以证明您曾就砍伐事宜与邻居进行过交涉。

2. 与邻居协商：

   • 在收集到足够证据后，可以尝试与邻居进行协商，要求其承认错误并赔偿损失。
   • 协商过程中，可以明确提出赔偿金额和恢复原状的方案，如要求邻居重新种植一棵相同年龄和品种的梧桐树。

3. 寻求法律援助：

   • 如果协商无果，您可以向当地的人民调解委员会申请调解，或者向人民法院提起诉讼，要求邻居承担侵权责任。
   • 在提起诉讼前，建议您咨询专业律师，了解具体的法律程序和诉讼策略，以确保您的权益得到充分保护。

可能的法律后果：

1. 赔偿损失：如果法院认定邻居的行为构成侵权，邻居可能需要赔偿您因砍伐树木所造成的直接经济损失，包括树木的价值、因砍伐导致的其他损失等。

2. 恢复原状：在可能的情况下，法院可能会判决邻居恢复原状，即重新种植一棵相同年龄和品种的梧桐树，以弥补您的损失。

3. 行政处罚：如果邻居的行为违反了相关的行政管理规定，如未经许可擅自砍伐树木等，相关部门还可能对其处以行政处罚，如罚款、没收违法所得等。

特殊情况考虑：

• 如果邻居砍伐树木是出于紧急避险等合法原因，且事后及时通知了您并采取了补救措施，那么其可能不需要承担全部或部分法律责任。但这种情况需要具体分析，且邻居需要承担举证责任。

• 如果您与邻居之间存在其他纠纷或矛盾，且砍伐树木的行为与这些纠纷或矛盾有关，那么在处理此事时，还需要考虑这些因素对法律责任的影响。

总之，邻居私自砍伐您家五年的梧桐树是违法行为，您有权要求其承担相应的法律责任。在处理此事时，建议您保持冷静、理性，并遵循法律程序来维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。