汇票上的付款人在汇票到期日或提示付款时，必须承担付款责任。以下是对这一结论的详细解释：
一、汇票到期日
汇票是一种由出票人签发，委托付款人在见票时或者在指定日期无条件支付确定的金额给收款人或者持票人的票据。根据《中华人民共和国票据法》的相关规定，汇票分为即期汇票和远期汇票。对于远期汇票，付款人承担付款责任的日期是汇票的到期日。到期日是汇票上明确记载的，付款人必须在该日期或之后承担付款责任。
二、提示付款
对于即期汇票，或者远期汇票在到期日之前，持票人也有权向付款人提示付款。提示付款是持票人行使票据权利的重要方式，它要求付款人在收到提示后，根据汇票的记载事项进行付款。如果付款人拒绝付款，持票人可以依法行使追索权。
即期汇票：对于即期汇票，持票人可以在出票后随时向付款人提示付款。付款人在收到提示后，应当立即付款。
远期汇票：对于远期汇票，虽然付款责任在到期日才正式产生，但持票人可以在到期日前向付款人提示汇票，以确认付款人的付款意愿和准备情况。然而，真正的付款责任仍然是在到期日或之后才产生。不过，如果付款人在提示时同意提前付款，那么也可以视为其承担了付款责任。
三、特殊情况
除了上述两种情况外，还有一些特殊情况下付款人也可能需要承担付款责任。例如：
汇票被拒绝承兑或付款：如果汇票被付款人拒绝承兑或付款，持票人可以依法向其前手（如出票人、背书人等）行使追索权。同时，如果付款人存在恶意或重大过失导致汇票无法承兑或付款的，还可能承担额外的法律责任。
汇票遗失、被盗或灭失：在汇票遗失、被盗或灭失的情况下，如果持票人能够依法证明其票据权利，并办理了挂失止付或公示催告等手续，那么付款人在接到相关通知后，应当停止支付并承担相应的法律责任。不过，这种情况下付款人的付款责任是相对的，即其只对合法的持票人承担付款责任。
四、法律建议
对于持票人而言，在行使票据权利时应当注意以下几点：
及时提示付款：持票人应当在汇票到期日或之前及时向付款人提示付款，以确保自己的票据权利得到实现。
保留相关证据：持票人在提示付款时应当保留好相关证据（如提示付款通知书、回执等），以备在发生纠纷时作为证明。
依法行使追索权：如果汇票被拒绝承兑或付款，持票人应当依法及时向其前手行使追索权，以维护自己的合法权益。
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