关于公司汽车租赁合同的管理部门，这主要取决于汽车租赁公司的类型和业务范围，但通常情况下，汽车租赁合同主要受交通运输部门的管理。以下是详细解释：
首先，我们需要明确的是，汽车租赁公司作为一种提供车辆租赁服务的企业，其业务活动主要涉及到车辆的管理、使用和维护等方面。为了确保汽车租赁市场的规范运行，保障租赁双方的合法权益，交通运输部门承担着对汽车租赁公司的主要管理职责。
具体来说，交通运输部门在汽车租赁合同管理方面的职责包括：
审核经营资质：交通运输部门会对汽车租赁企业的经营资质进行审核，确保其具备从事汽车租赁业务的合法资格。这包括对企业的注册资本、车辆数量、管理人员资质等方面的要求。
监督车辆管理：交通运输部门会监督汽车租赁公司对车辆的管理和维护情况，确保租赁车辆的安全性和合规性。这包括对车辆的年检、保险、维修等方面的监管。
监管服务质量：交通运输部门还会对汽车租赁公司的服务质量进行监管，包括合同的签订、履行、变更和解除等方面。这有助于提升行业整体服务水平，保护消费者的合法权益。
此外，虽然市场监管部门不直接管理汽车租赁合同，但也会对汽车租赁公司的经营行为进行监督，如广告宣传、合同格式条款等，以防止出现欺诈等违法行为。这进一步增强了汽车租赁市场的规范性和透明度。
综上所述，公司汽车租赁合同主要受交通运输部门的管理。汽车租赁公司应遵守相关法律法规和监管要求，接受交通运输部门的监督和管理，以确保市场的健康发展和消费者的合法权益。同时，市场监管部门也会在必要时对汽车租赁公司的经营行为进行监督，以维护市场秩序和公平竞争。