结论：断绝关系后能否继承遗产，需根据断绝关系的类型及法律规定来判断，不能一概而论。以下是对此问题的详细分析：
一、不同亲属关系下的继承权分析
自然血亲关系（如父母与子女）
- 无法断绝：自然血亲关系是基于出生事实形成的，无法通过法律行为或约定解除。因此，即使双方宣称“断绝关系”，这种关系在法律上依然存在。
- 继承权：子女在没有丧失继承权法定情形的情况下，依然享有对父母遗产的法定继承权。丧失继承权的法定情形包括故意杀害被继承人、为争夺遗产而杀害其他继承人、遗弃或虐待被继承人情节严重、伪造或篡改遗嘱情节严重等。
拟制血亲关系（如养父母与养子女）
- 可依法解除：收养关系可以通过法律程序解除，解除后养子女丧失对养父母遗产的法定继承权。
- 继承权变化：若收养关系解除，且没有其他特殊约定或遗嘱指定，养子女将不再享有对养父母遗产的继承权。
夫妻关系
- 离婚解除：夫妻之间通过离婚可以解除婚姻关系，但这并不直接影响他们在某些情况下的继承权，除非离婚时另有约定或存在遗嘱指定。
- 继承权影响：离婚后，双方互为非法定继承人，除非有特殊情况（如遗嘱继承或共同财产未完全分割）。
其他亲属或朋友关系
- 原本无继承权：其他亲属或朋友之间原本就没有法定的继承权，因此断绝关系对继承权没有影响。
二、遗嘱对继承权的影响
- 遗嘱的优先性：被继承人可通过订立遗嘱自由处分自己的财产，指定继承人及继承份额。若遗嘱中明确表示不让某一继承人继承，则该继承人将不能按遗嘱继承相应遗产。
- 断绝关系与遗嘱：即使双方宣称“断绝关系”，但如果被继承人在遗嘱中明确指定了该继承人为遗产继承人，那么该继承人仍然有权继承遗产。
三、法律建议
- 明确关系类型：首先需要明确断绝关系涉及的具体亲属关系类型，以便准确判断继承权是否存在。
- 审查遗嘱内容：如果存在遗嘱，应仔细审查遗嘱内容，了解被继承人的真实意愿。
- 咨询法律专业人士：在处理涉及继承权的问题时，由于情况复杂多变，建议直接向我咨询，以确保自身权益得到准确、合法的维护。
示例说明：假设一对父母与子女之间宣称“断绝关系”，但并未通过法律程序解除收养关系（如果是养父母与养子女的话），且子女没有丧失继承权的法定情形。在这种情况下，子女仍然有权继承父母的遗产。然而，如果父母立有遗嘱并明确排除了子女的继承权，那么子女将不能继承遗产。
总结：断绝关系后能否继承遗产取决于多种因素，包括亲属关系类型、是否存在丧失继承权的法定情形以及遗嘱内容等。在处理此类问题时，建议直接向我咨询以获取更具体的法律意见和帮助。