结论：没毕业实习期一个月没有工资一般是不合法的，尤其是当手机聊天记录已约定有报酬时。以下从不同角度进行详细分析：
法律背景与规定
实习生的法律地位：
- 实习生通常不被视为正式的劳动者，但根据《职业学校学生实习管理规定》等相关法规，实习单位应当按照实习协议约定，以货币形式及时、足额支付给学生实习报酬，且不得低于当地最低工资标准或者学校与合作企业约定的标准。
报酬的约定：
- 手机聊天记录作为电子证据，在法律上具有一定的证明力。如果聊天记录中明确约定了实习期间的报酬，那么实习单位应当按照约定支付。
具体分析
有报酬约定的情况：
- 如果手机聊天记录中明确约定了实习期间的报酬，而实习单位未支付，这构成了违约行为。实习生有权要求实习单位按照约定支付报酬，并可以寻求法律途径维护自己的权益。
无报酬约定的情况（虽本题不涉及，但为全面分析需提及）：
- 即使没有明确的报酬约定，实习单位也不应完全无偿使用实习生的劳动力。根据相关规定，实习单位应给予实习生适当的补贴或报酬，以体现对实习生劳动的尊重和补偿。
法律建议
与实习单位协商：
- 实习生首先可以尝试与实习单位进行协商，明确报酬的支付情况和时间，以达成和解。
收集证据：
- 如果协商无果，实习生应收集相关证据，如手机聊天记录、实习协议（如有）、工作记录等，以证明自己与实习单位之间的劳动关系和报酬约定。
寻求法律援助：
- 实习生可以向当地的劳动监察部门投诉，或者寻求法律援助机构的帮助，以维护自己的合法权益。
提起诉讼：
- 在必要时，实习生还可以向法院提起诉讼，要求实习单位支付拖欠的报酬，并可能要求赔偿因此造成的损失。
可能的法律后果
- 如果实习单位被认定存在违法行为，可能会面临劳动监察部门的处罚，包括罚款、责令改正等。
- 实习生如果通过法律途径成功维权，实习单位不仅需要支付拖欠的报酬，还可能需要承担诉讼费用、律师费用等额外成本。
综上所述，没毕业实习期一个月没有工资，在已有手机聊天记录约定有报酬的情况下，是不合法的。实习生应积极维护自己的权益，通过协商、投诉或诉讼等途径要求实习单位支付报酬。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。