当肇事者在将伤者送到医院后逃离现场，您或您的家属可以采取以下措施来应对这种情况：

首先，及时报警是至关重要的。您应该立即拨打110报警电话，向警方详细报告事故发生的时间、地点、肇事车辆的特征（如颜色、型号、车牌号码等，如果记得的话），以及肇事者的特征（如外貌、穿着等，如果有可能的话）。这些信息将帮助警方尽快启动调查，并尝试追踪和找到肇事者。

其次，保留现场证据也非常重要。如果事故现场仍然保留，且条件允许，您应该尽可能拍照或录像以记录现场的车辆碰撞痕迹、散落物、路况等关键信息。同时，如果周围有目击者，也应该尝试获取他们的联系方式，以便后续警方调查时能够联系到他们作为证人。

在救治伤者的同时，妥善保管好医疗费用相关的票据和凭证。这些票据和凭证将是后续向肇事者追讨赔偿的重要依据。

接下来，您需要积极配合警方的调查工作。警方可能会通过查看交通监控录像、走访周边群众、询问伤者及其家属等方式来收集线索和证据。您应该如实提供您所知道的所有相关信息，以便警方能够更准确地了解事故情况，并尽快找到肇事者。

最后，一旦找到肇事者，您可以与其协商赔偿事宜。如果双方无法达成一致，您可以通过法律途径追讨赔偿。您可以向法院提起诉讼，要求肇事者承担相应的民事赔偿责任，包括医疗费、护理费、误工费、精神损失费等各项损失。

总之，面对肇事者逃离现场的情况，及时报警、保留证据、配合警方调查以及通过法律途径追讨赔偿是维护自身权益的关键步骤。