结论前置：病假期间，公司一般不可以私自给员工办自离，即不得随意解除劳动合同。若公司违法解除，需承担相应的法律责任。
法律依据与保护原则
核心法规：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这一规定旨在保护处于病假等医疗期内员工的合法权益，防止用人单位滥用解除权。
保护原则：
- 员工在病假期间享有特殊的法律保护，公司应尊重并维护其合法权益，不得无故解雇或私自办理离职手续。
医疗期的具体规定与待遇
医疗期定义与计算：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。其长短根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，具体计算方式可能因地区而异，但通常从病休第一天开始累计计算。
医疗期待遇：
- 在医疗期内，员工享有病假工资、医疗保险等待遇。公司不得因员工处于医疗期而降低其工资待遇或取消其福利。
公司违法解除劳动合同的法律后果
经济补偿与赔偿金：
- 如果公司在员工病假期间违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的计算方式通常为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
继续履行劳动合同的可能性：
- 除了支付赔偿金外，员工还有权要求公司继续履行劳动合同，即恢复劳动关系。这取决于员工的意愿和实际情况，如员工是否愿意继续在公司工作、公司是否能够提供合适的工作岗位等。
特殊情况下的劳动合同解除
尽管员工在病假期间享有特殊保护，但在以下特殊情况下，公司可以依法解除劳动合同：
员工存在严重过错：
- 如员工提供虚假病假证明、无故旷工等严重违纪行为，符合《劳动合同法》第三十九条规定的，公司可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。但公司需确保有充分的证据证明员工的过错行为。
医疗期满无法胜任工作：
- 若员工在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，根据《劳动合同法》第四十条，公司可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。但这种情况下，公司仍需向劳动者支付经济补偿。
实际操作建议
对于员工：
- 了解自身权益和法律规定，确保在病假期间不被公司违法解除劳动合同。
- 如公司违法解除，及时收集证据并申请劳动仲裁，维护自身合法权益。
对于公司：
- 严格遵守相关法律法规，不得随意解除处于病假期间员工的劳动合同。
- 如需解除劳动合同，应确保符合法定条件并遵循法定程序，避免不必要的法律纠纷和风险。
总结与建议：病假期间，公司一般不可以私自给员工办自离。若公司确需与员工解除劳动合同，必须严格遵守相关法律法规，并确保支付相应的经济补偿。对于员工而言，了解自身权益和法律规定至关重要，以便在必要时采取合法措施维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。