结论：通常情况下，第三方保安公司不会起诉死者家属，但具体还需根据实际情况判断。以下从不同角度进行分析：
一、法律关系与责任主体
保安员与保安公司的关系：保安员作为保安公司的员工，其与公司之间存在劳动合同关系。保安员在学校自杀，这一行为主要涉及保安员个人的心理健康、生活压力等个人因素，与保安公司作为用人单位的直接管理职责无直接关联（除非能证明自杀与保安公司的工作环境、管理方式等存在直接因果关系，但这种情况极为罕见）。
保安公司与学校的关系：保安公司通常与学校签订保安服务合同，为学校提供安全保卫服务。保安员在学校自杀，并不直接构成保安公司对学校的违约或侵权行为，因此学校通常不会因此向保安公司索赔，保安公司也就没有向死者家属追偿的基础。
二、起诉的法律依据与合理性
起诉的法律依据：在民事诉讼中，起诉通常需要有明确的被告、具体的诉讼请求和事实、理由。对于保安公司起诉死者家属的情况，除非保安公司能证明死者家属存在过错（如教唆、胁迫保安员自杀等），且这种过错与保安员的自杀行为有直接因果关系，否则保安公司缺乏起诉的法律依据。
起诉的合理性：从社会伦理和道德层面来看，保安员自杀是一个悲剧性事件，其家属已经承受了巨大的精神压力和经济负担。在这种情况下，保安公司选择起诉死者家属，不仅缺乏法律依据，也违背了社会伦理和道德准则，容易引发社会舆论的谴责。
三、特殊情况下的考虑
尽管在大多数情况下，保安公司不会起诉死者家属，但也存在一些特殊情况需要考虑：
自杀与工作环境的关联：如果保安公司能证明保安员的自杀与其工作环境、工作压力等存在直接关联，且保安公司未尽到相应的管理职责（如未提供必要的心理支持、未合理安排工作时间等），那么保安公司可能需要承担一定的法律责任。但这种情况下，保安公司通常会选择与死者家属协商解决，而不是直接起诉。
合同中的特殊条款：如果保安公司与学校签订的保安服务合同中包含了关于员工自杀等特殊情况的条款，且这些条款对保安公司的责任进行了明确约定，那么保安公司可能会根据合同条款来处理相关事宜。但即便如此，起诉死者家属仍然不是常见的处理方式。
建议：如果保安公司或死者家属对相关事宜存在疑问或争议，建议寻求专业法律人士的帮助，通过协商、调解或诉讼等方式妥善解决。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。