针对行政机关和第三人共同违约的情况，处理方式需结合具体场景和法律关系来分析，以下是核心结论和处理思路：

1. 明确法律关系，区分责任性质

• 行政合同关系：若行政机关与相对人（如企业、个人）签订的是行政合同（如政府特许经营协议、土地出让合同），行政机关违约可能涉及行政法上的责任，第三人违约则可能涉及民事责任。此时需区分行政机关的行为是行政行为还是民事行为：
  
  • 若行政机关以行政主体身份违约（如单方变更、解除合同未依法补偿），相对人可通过行政复议或行政诉讼主张权利，要求行政机关履行义务或赔偿损失。
    
  • 若行政机关以民事主体身份参与合同（如购买办公用品），其违约与第三人违约均属民事纠纷，可通过民事诉讼共同起诉或分别追责。
    
• 第三人独立责任：若第三人违约与行政机关无关（如行政机关已履行合同，但第三人未向相对人交付货物），相对人可直接向第三人主张违约责任（如要求继续履行、赔偿损失）。

2. 共同违约的追责路径

• 行政机关与第三人存在共同故意或过失：
  若行政机关与第三人通过共同行为导致违约（如行政机关与供应商串通延迟供货），相对人可同时起诉行政机关和第三人，要求承担连带责任。此时需收集证据证明两者存在意思联络或共同过错（如书面协议、沟通记录）。
  
• 行政机关与第三人无共同故意，但行为间接结合导致损害：
  若行政机关违约（如未按时审批）与第三人违约（如未按时生产）独立发生，但共同导致相对人损失，可能按过错比例分担责任。相对人需通过民事诉讼分别主张权利，法院根据各自过错确定赔偿份额。

3. 救济程序的选择

• 优先行政救济：若违约涉及行政机关的行政行为（如行政许可未按时作出），需先通过行政复议或行政诉讼解决行政争议，再处理第三人民事责任。
  
• 直接民事诉讼：若违约纯属民事纠纷（如行政机关作为买方与第三人共同违约），可直接起诉两者要求赔偿。
  
• 刑事报案（如涉及犯罪）：若行政机关或第三人通过违约行为涉嫌贪污贿赂、渎职侵权或合同诈骗，可向监察机关或公安机关报案，追究刑事责任。

4. 实务建议

• 固定证据：保存合同、沟通记录、违约证明（如交付延迟通知、质量检测报告）等材料，证明行政机关和第三人的违约行为及损失。
  
• 分案处理：若行政机关与第三人责任界限清晰，可分别提起行政诉讼和民事诉讼，提高效率。
  
• 协商调解：在诉讼前尝试与行政机关或第三人协商，通过行政调解或民事和解快速解决争议，降低维权成本。

总结：行政机关与第三人共同违约的处理需结合法律关系性质、责任类型和证据情况，选择行政复议、行政诉讼、民事诉讼或刑事报案等路径。具体操作中建议根据案件细节进一步分析，如有疑问可直接向我咨询。