关于行政事业单位劳务派遣人员请病假的法律规定，主要可以从以下几个方面进行分析：

1. 劳务派遣人员的法律地位：

   • 劳务派遣人员与劳务派遣单位签订劳动合同，被派遣至用工单位（如行政事业单位）工作。因此，劳务派遣人员的劳动关系主要与劳务派遣单位建立，而用工单位则负责其日常管理和工作安排。

2. 病假权利的来源：

   • 劳务派遣人员的病假权利主要来源于其与劳务派遣单位签订的劳动合同以及相关的劳动法律法规。根据《中华人民共和国劳动合同法》和《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》等法律法规，劳动者在患病或非因工负伤时，有权享受医疗期，并在医疗期内获得病假工资或疾病救济费。

3. 病假期间的待遇：

   • 病假工资：劳务派遣人员在病假期间，劳务派遣单位应按照劳动合同或集体合同的约定支付病假工资。病假工资不得低于当地最低工资标准的80%。具体数额可能因地区和单位政策而异，但应确保不低于法定最低标准。
   • 医疗期：医疗期的长度根据劳动者的工作年限和在本单位的工作年限确定，一般为3个月到24个月不等。在医疗期内，劳务派遣单位不得解除劳动合同，除非劳动者存在严重违反规章制度等法定解除情形。

4. 病假申请与审批流程：

   • 劳务派遣人员应按照用工单位的规定提交病假申请，并提供相关的医疗证明。用工单位在收到申请后，应及时进行审批，并将审批结果通知劳务派遣单位和劳动者本人。
   • 劳务派遣单位在收到用工单位的通知后，应按照劳动合同和法律法规的规定支付病假工资或疾病救济费。

5. 特殊情况下的处理：

   • 如果劳务派遣人员因病情严重需要长期治疗，且医疗期满后仍不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作的，劳务派遣单位可以与其解除劳动合同，但应按照法律法规的规定支付经济补偿金。
   • 如果劳务派遣人员对病假期间的待遇或医疗期的长度有异议，可以向劳务派遣单位或用工单位提出申诉，也可以依法向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁。

法律建议：

• 对于劳务派遣人员而言，在请病假前应仔细阅读劳动合同和用工单位的相关规定，了解自己的权利和义务。
• 在提交病假申请时，应提供真实有效的医疗证明，并按照规定的流程进行申请和审批。
• 如果对病假期间的待遇或医疗期的长度有异议，应及时与劳务派遣单位或用工单位沟通协商，必要时可以寻求法律援助或咨询专业律师。

可能遇到的法律后果：

• 如果劳务派遣人员未按照规定提交病假申请或提供虚假医疗证明，可能会面临用工单位的纪律处分或劳务派遣单位的劳动合同解除。
• 如果劳务派遣单位未按照法律法规的规定支付病假工资或疾病救济费，劳动者可以依法向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁，要求劳务派遣单位支付相应的待遇和赔偿金。

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