当租房合同到期未续签且房东不肯退押金和租金时，您可以按照以下详细步骤来处理这个问题：
一、明确法律依据与合同状态
首先，您需要了解相关的法律依据。根据《中华人民共和国民法典》第七百三十四条，租赁合同届满后，如果您继续使用租赁物且房东未提出异议，那么这将被视为不定期租赁。在这种情况下，双方都有权随时解除合同，但应当提前通知对方。
关于押金和租金的退还，通常有以下原则：
- 如果您已经搬离并交还了房屋钥匙，房东应当退还押金以及剩余的预付租金（如果有的话）。
- 如果您仍然占用房屋但未支付后续租金，房东可以主张占用费，但他们无权扣留您已经支付的租金或押金。
二、收集证据并尝试协商
收集证据：
- 保留租赁合同、付款凭证、退房交接单、房屋照片或视频等，以证明您已经按照合同要求履行了义务，并且房屋已经交还。
- 如果有与房东的沟通记录，如短信、微信聊天记录或电话录音，也一并保存，这些可能作为后续协商或法律诉讼的证据。
主动沟通：
- 向房东明确说明合同的状态以及他们的法律义务，要求他们退还押金和剩余租金。
- 提供您已经搬离的证明，如退房交接单、房屋照片等，以增强您的说服力。
第三方调解：
- 如果协商没有结果，您可以考虑向社区居委会、街道办或消费者协会申请调解。这些中立机构可能能够帮助您和房东达成和解。
三、考虑法律途径
如果协商和调解都没有成功，您可以考虑采取法律途径来维护自己的权益：
发送律师函：
- 委托律师出具一份正式的函件，明确指出房东的违法事实以及您要求退款的期限。这可能会给房东施加一定的法律压力。
提起诉讼：
- 如果房东仍然拒绝退款，您可以向法院提起诉讼。
- 在提起诉讼前，确保您已经准备好了所有必要的证据，如租赁合同、付款凭证、退房记录、沟通录音等。
- 您的诉讼请求可以包括返还押金和剩余租金，并可以要求赔偿资金占用损失（通常按照LPR利率计算）。
- 需要注意的是，诉讼成本相对较低，但审理周期可能较长，通常在3-6个月左右。
四、注意事项
- 避免自行扣押财物：不要擅自留置房东的物品来抵债，这可能构成侵权行为。
- 及时止损：如果房屋存在安全隐患或纠纷有升级的趋势，您应该立即搬离并保留相关证据，以避免进一步的损失。
示例流程
以张先生为例，他的租房合同到期后没有续签，但房东以“未提前通知”为由拒绝退还2000元押金。张先生首先尝试与房东协商，但无果。于是，他向法院提起了诉讼，并提交了退房视频、微信聊天记录等证据。最终，法院判决房东全额退还押金，并承担了诉讼费。
希望这些建议能够帮助您解决与房东之间的纠纷。如果还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。