当租房到期房东不退押金且没有签订书面合同时，你可以按照以下详细步骤来处理这一问题，以维护自己的合法权益：
一、收集证据以证明租赁关系和押金事实
收集能证明租赁关系的证据：
- 聊天记录：检查与房东的微信、短信等聊天记录，寻找关于租房事宜的讨论，如入住时间、租金金额、房屋设施等，这些都可以作为租赁关系存在的间接证据。
- 支付记录：整理通过银行转账、支付宝、微信等方式向房东支付租金和押金的记录，这些记录能清晰显示付款时间、金额及收款方信息。
- 证人证言：如果有邻居、小区物业工作人员或其他了解租房情况的人员，他们的证言也可以作为辅助证据。
证明押金事实：
- 收据或收条：如果房东曾开具收取押金的收据或收条，这是最直接有力的证据，务必妥善保管。
- 录音录像：在与房东沟通退还押金的过程中，可以进行合法合规的录音或录像，确保内容清晰、完整，能够准确反映双方的交流内容和关键信息。
二、与房东协商解决
- 友好沟通：尝试与房东进行友好、诚恳的沟通，了解其不退押金的具体原因。也许存在一些误会或问题可以通过协商解决。
- 提出合理方案：根据实际情况，提出一些合理的解决方案。例如，如果是因为房屋设施损坏或清洁问题导致押金被扣，你可以主动提出承担部分费用或进行清洁，以换取房东退还剩余押金。
三、向相关部门投诉或寻求调解
- 向当地居委会或街道办事处求助：这些机构通常设有调解部门，可以帮助你与房东进行沟通协商，促使双方达成和解。
- 向住房保障和房产管理部门投诉：这些部门负责监管房屋租赁市场，对于房东的不当行为有权进行处理。你可以向他们详细说明情况，提供相关证据，请求他们对房东进行调查和处理。
四、通过法律途径解决
- 申请仲裁（如有约定）：如果在其他相关协议或约定中有明确的仲裁条款，你可以根据该条款向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁机构会根据双方提供的证据和相关法律法规进行裁决。
- 提起诉讼：如果没有仲裁约定，你可以向房屋所在地的人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，需要提交充分的证据证明租赁关系和押金事实，以及房东不退押金的行为构成违约。法院将根据法律规定和事实情况进行判决。如果法院判决你胜诉，而房东仍然不履行退款义务，你可以申请强制执行。
综上所述，即使没有签订书面合同，你仍然可以通过收集证据、与房东协商、向相关部门投诉或寻求调解以及通过法律途径等方式来维护自己的合法权益。希望这些建议能对你有所帮助。