结论：在二审判决已生效的情况下，对方再次提出亲子鉴定，一般情况下不能直接立案启动新的诉讼程序，但存在特殊情形可能允许。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况：二审判决生效后，不能直接立案启动新程序
判决的既判力：二审判决是终审判决，具有既判力，即判决一旦生效，就确定了当事人之间的权利义务关系，非经法定程序不得改变。这意味着，在一般情况下，二审判决生效后，当事人不能就同一事实和理由再次提起诉讼。
亲子鉴定的性质：亲子鉴定通常是在诉讼过程中，为了证明或反驳亲子关系而进行的科学鉴定。在二审判决已经对亲子关系作出明确认定的情况下，再次提出亲子鉴定，实际上是对已生效判决的挑战，这通常不被允许。
二、特殊情况：可能允许再次提出亲子鉴定并立案
新证据的出现：如果在二审判决生效后，出现了新的证据，这些证据足以推翻原判决对亲子关系的认定，那么当事人可以向法院申请再审。在再审过程中，如果法院认为有必要，可以允许进行亲子鉴定。但这种情况下的立案，实际上是启动了再审程序，而非新的诉讼程序。
程序违法或事实认定错误：如果二审判决存在程序违法或事实认定错误，导致亲子关系的认定不准确，当事人也可以通过申请再审来寻求救济。在再审过程中，同样可能涉及亲子鉴定的进行。
涉及第三方权益：在某些特殊情况下，如涉及继承、抚养等第三方权益的亲子关系认定，即使二审判决已经生效，但如果第三方提出异议，并提供了初步证据表明原判决可能存在错误，法院也可能考虑允许进行亲子鉴定，以保护第三方的合法权益。但这种情况下的立案，需要严格审查第三方的异议和初步证据，确保程序的正当性和必要性。
三、法律建议
评估新证据或理由：如果对方提出再次进行亲子鉴定，首先应评估其提出的新证据或理由是否充分，是否足以推翻原判决。如果缺乏充分证据或理由，那么再次提出亲子鉴定很可能不会被法院允许。
考虑申请再审：如果认为原判决存在错误，且掌握了足够的新证据或理由，可以考虑向法院申请再审。在再审过程中，可以提出亲子鉴定的申请，但需注意再审程序的严格性和复杂性。
咨询专业律师：由于涉及复杂的法律程序和证据规则，建议在处理此类问题时咨询专业律师。律师可以根据具体情况提供针对性的法律建议和策略，帮助当事人更好地维护自己的合法权益。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此在处理此类问题时，需要综合考虑各种因素，并依据相关法律法规和司法实践进行判断。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。