结论：在雇主未购买交强险的情况下，交强险应赔偿的部分，重大过失的雇员一般不直接承担这部分赔偿责任，但可能存在例外情形，以下为你详细分析：

一般情况下雇员不承担交强险应赔偿部分

1. 雇主责任角度
   • 根据相关法律规定，雇主有义务为其机动车购买交强险。交强险是一种强制保险，旨在保障交通事故中受害人的基本权益。雇主未履行这一法定义务，本身就存在过错。
   • 当发生交通事故时，对于交强险应赔偿的部分，本应由保险公司承担。但由于雇主未购买交强险，这部分赔偿责任原则上应由雇主自行承担。这是因为雇主是交强险投保义务人，其未投保的行为导致了在事故发生后无法通过交强险获得赔偿，所以应由雇主来填补这一损失。
   • 例如，在某起交通事故中，雇员因重大过失导致他人受伤，由于雇主未购买交强险，受害人的医疗费等本应由交强险赔偿的部分，应由雇主承担赔偿责任。
2. 雇员过错与交强险赔偿的关联性
   • 交强险的赔偿是基于法律的强制性规定，其赔偿范围和限额是固定的，与雇员是否存在过错并无直接关系。交强险的设立目的是为了保障交通事故受害人的基本救助，不区分事故责任大小。
   • 雇员的重大过失主要影响的是在交强险赔偿范围之外，雇主和雇员之间根据各自的过错程度来分担责任的问题。也就是说，雇员的重大过失不会导致其直接承担交强险应赔偿的那部分费用。

存在例外雇员可能承担责任的情形

1. 雇员与雇主存在特殊约定
   • 如果雇主和雇员在雇佣合同或者其他协议中明确约定，在雇主未购买交强险的情况下，因雇员重大过失导致交通事故的，雇员需承担交强险应赔偿的部分责任。那么在这种情况下，基于双方的合意，雇员可能需要承担这部分责任。
   • 不过，这种约定需要在不违反法律强制性规定和公序良俗的前提下才有效。例如，如果约定明显加重了雇员的负担，显失公平，那么该约定可能会被认定为无效。
2. 雇员的行为构成故意或与雇主构成共同侵权
   • 如果雇员的行为不是重大过失，而是故意造成交通事故，那么雇员的行为性质就发生了根本变化。此时，雇员和雇主可能构成共同侵权，雇员需要与雇主对交强险应赔偿的部分以及其他损失承担连带赔偿责任。
   • 例如，雇员为了报复他人，故意驾驶雇主车辆撞击对方，导致他人受伤。在这种情况下，雇员和雇主需共同承担赔偿责任，包括交强险应赔偿的部分。

如果你还有其他关于交通事故责任赔偿、保险纠纷等方面的法律问题，欢迎直接向我咨询。