结论前置：在工厂中，并非任何人都有权开除员工，开除员工必须遵循法律法规的规定，并由具有相应权限的主体进行。以下是对该问题的详细分析：
一、有权开除员工的主体
工厂管理层：
- 工厂的管理层，如总经理、厂长或相应的决策机构，在符合法律法规和工厂规章制度的前提下，有权对严重违反规定、达到开除条件的员工做出开除决定。
- 人力资源部门通常负责具体调查员工的违规违纪情况，并形成报告提交给管理层审议，由管理层最终决定是否开除。
职工代表大会或工会（间接参与）：
- 职工代表大会或工会本身不直接行使开除员工的权力，但在开除过程中发挥监督和建议作用。
- 工厂在做出开除决定前，应征求工会意见；工会如认为开除决定不适当，有权提出意见。这有助于确保开除决定的公正性和合理性。
二、合法开除员工的情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，工厂在以下情形下可以合法开除员工：
劳动者存在过错的情况：
- 试用期不符合录用条件；
- 严重违反工厂的规章制度；
- 严重失职或营私舞弊，给工厂造成重大损害；
- 同时与其他单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经工厂提出后拒不改正；
- 以欺诈手段订立劳动合同；
- 被依法追究刑事责任。
无过失性辞退（需提前通知或支付代通知金）：
- 医疗期满不能从事原工作或另行安排的工作；
- 不胜任工作且培训或调岗后仍不胜任；
- 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且未能就变更劳动合同内容达成协议。
经济性裁员（需履行法定程序）：
- 在特定情况下，如工厂依照企业破产法规定进行重整、生产经营发生严重困难等，需要裁减人员时，可以依法进行经济性裁员。但需提前向工会或者全体职工说明情况，听取意见后将裁员方案报送劳动行政部门，并按照法律规定支付经济补偿金。
三、开除员工的程序要求
- 证据充分：工厂在开除员工前，必须确保有充分的证据支持开除决定，如员工违规行为的记录、证人证言等。
- 沟通告知：与员工进行沟通，告知其开除决定及理由，并听取员工的陈述和申辩。这有助于保障员工的知情权和申辩权。
- 依法支付：依法向员工支付应得的工资、经济补偿等款项。这是工厂的法定义务，也是保障员工权益的重要措施。
- 及时办理离职手续：如社保转移、档案移交等。这有助于确保员工的权益得到妥善处理，避免后续纠纷。
四、违法开除的法律后果
如果工厂违法开除员工，如未遵循法定程序、未支付经济补偿等，员工有权向劳动行政部门投诉或提起劳动仲裁、诉讼等法律程序，要求工厂承担相应的法律责任。
总结与建议：工厂在开除员工时，必须严格遵循法律法规的规定，确保开除决定的合法性、公正性以及对员工权益的妥善处理。如果工厂或员工在开除过程中遇到法律问题或纠纷，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更专业的法律建议。