结论：员工因虚假宣传被开除，并不影响工商部门对公司可能存在的违法行为的处罚。工商部门是否处罚公司，取决于公司本身是否存在违反工商行政管理法律法规的行为，而非单纯基于员工被开除这一事实。
详细分析：
员工行为与公司责任：
- 员工虚假宣传，若该行为是公司授权或默许的，或者员工是在执行公司任务时进行的虚假宣传，那么公司可能需要承担相应的法律责任。这包括但不限于因虚假宣传导致的行政处罚、民事赔偿等。
- 若员工虚假宣传是个人行为，与公司无关，且公司能够证明已尽到合理的监管义务，那么公司可能不承担直接的法律责任。但即便如此，如果工商部门在调查过程中发现公司存在其他违法行为，仍可能对公司进行处罚。
工商部门的处罚依据：
- 工商部门对公司进行处罚，是基于公司是否违反了工商行政管理法律法规，如《中华人民共和国广告法》、《中华人民共和国反不正当竞争法》等。这些法律法规规定了公司在进行商业活动时应遵守的规范，包括但不限于广告内容的真实性、合法性，以及不得进行虚假宣传等。
- 工商部门在处罚公司时，会综合考虑公司的违法行为性质、情节、后果等因素，并依据相关法律法规作出处罚决定。处罚措施可能包括罚款、没收违法所得、责令停止违法行为、吊销营业执照等。
员工被开除与工商处罚的关系：
- 员工被开除是公司内部管理行为，与工商部门对公司的处罚无直接关联。工商部门不会因为公司开除了某名员工就减轻或免除对公司的处罚。
- 如果员工虚假宣传行为被工商部门认定为公司的违法行为，且公司因此受到处罚，那么公司开除该员工并不能作为免除或减轻处罚的理由。
建议：
- 公司应加强内部管理：建立健全的内部监管机制，确保员工在执行任务时遵守相关法律法规，避免虚假宣传等违法行为的发生。
- 积极配合工商部门调查：如果公司被工商部门调查，应积极配合并提供相关证据材料，以证明公司已尽到合理的监管义务或不存在违法行为。
- 寻求法律帮助：如果公司面临工商部门的处罚或认为处罚决定存在争议，可以及时向我咨询或寻求其他专业法律帮助，以维护公司的合法权益。
如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。