结论：判决生效后，双方私下达成执行协议，若对方不履行，您仍有权选择通过法律途径来维护自己的权益，即可以选择起诉（通常表现为申请恢复执行原判决或就执行协议另行起诉，具体取决于执行协议的性质和内容）。

分析说明：

1. 执行协议的性质：

   • 私下达成的执行协议，若未经过法院确认或未成为原判决执行程序的一部分，其本质上是一个新的合同或协议。这个协议虽然基于原判决，但具有独立的法律效力。
   • 如果执行协议是对原判决执行方式的变更，且得到了法院的认可或记录在案，那么它可能成为执行程序的一部分。但即便如此，若对方不履行，您仍有权依据原判决或执行协议向法院申请强制执行。

2. 对方不履行的法律后果：

   • 若执行协议具有独立法律效力，对方不履行即构成违约。您有权依据执行协议的内容，向法院提起诉讼，要求对方履行协议或承担违约责任。
   • 若执行协议未成为执行程序的一部分，且对方不履行，您还可以选择申请恢复执行原判决。此时，法院将依据原判决的内容，采取强制执行措施。

3. 选择起诉的考量因素：

   • 成本效益：起诉需要投入时间、金钱和精力。在决定起诉前，您应评估起诉的成本与可能获得的收益，包括对方可能履行的金额、诉讼费用、律师费用等。
   • 执行难度：即使获得胜诉判决，如果对方没有可供执行的财产或逃避执行，执行过程可能会非常困难。因此，在起诉前，您应尽可能了解对方的财产状况和执行可能性。
   • 协议内容：如果执行协议中包含了对方不履行时的违约责任条款，如违约金、赔偿损失等，这些条款可能为您提供了额外的法律保障。在起诉时，您可以依据这些条款要求对方承担相应的责任。

行动建议：

• 收集证据：在决定起诉前，您应收集所有与执行协议和原判决相关的证据，包括协议文本、沟通记录、付款凭证等。这些证据将有助于您在诉讼中证明自己的主张。
• 咨询律师：虽然您已经向我咨询，但考虑到每个案件的具体情况可能有所不同，我建议您在起诉前再次与我或另一位专业律师详细讨论案件情况，以便制定更具体的诉讼策略。
• 考虑和解：在起诉前或诉讼过程中，您还可以考虑与对方进行和解。和解可能是一种更快速、更经济的解决纠纷的方式，尤其当对方有履行意愿但暂时遇到困难时。

特殊场景：如果执行协议已经法院确认并成为执行程序的一部分，但对方仍不履行，您应直接向法院申请强制执行，而无需再次起诉。在此情况下，法院将依据执行协议的内容采取相应的执行措施。