结论：五十岁开始工作到六十岁被公司辞退是否有补偿金，取决于辞退的原因、是否已享受养老保险待遇以及是否达到法定退休年龄等多种因素。以下从不同角度为您详细分析：
一、因劳动者个人原因被辞退
- 情况说明：如果劳动者因严重违反用人单位的规章制度、不能胜任工作且经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任、被依法追究刑事责任等原因被辞退，通常没有经济补偿。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，这些情形下用人单位无需支付经济补偿。
二、因用人单位原因被辞退
协商一致解除劳动合同
- 情况说明：如果用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，用人单位需要向劳动者支付经济补偿。
- 补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 具体计算：假设您在公司工作了10年，月工资为5000元，则经济补偿为10个月×5000元/月=50000元。
经济性裁员
- 情况说明：如果用人单位因依照企业破产法规定进行重整、生产经营发生严重困难等情形需要裁减人员，且裁减人员方案经向劳动行政部门报告后实施，用人单位也需要向劳动者支付经济补偿。
- 补偿标准：同样按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
违法解除劳动合同
- 情况说明：如果用人单位违反法律规定解除劳动合同，如未提前通知、未支付代通知金或经济补偿等，属于违法解除。
- 法律后果：劳动者有权要求继续履行劳动合同，或者选择不要求继续履行而要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍。
无过失性辞退
- 情况说明：如果劳动者患病或非因工负伤在规定的医疗期满后不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作、不能胜任工作且经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化致使劳动合同无法履行且未能就变更劳动合同内容达成协议等情形，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，并需要支付经济补偿。
- 补偿标准：同样按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
三、特殊保护原则下的辞退限制及补偿
- 年龄因素：虽然《劳动合同法》未直接以年龄作为辞退补偿的判定标准，但司法实践中会考量劳动者再就业难度。若用人单位仅以年龄为由辞退员工（如“末位淘汰制”中仅针对高龄员工），可能构成违法解除，需支付赔偿金。
- 经济补偿基数：计算补偿金时，月工资指劳动者在合同解除前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍，补偿年限最高不超过十二年。
四、劳动合同终止与补偿规定
已享受基本养老保险待遇或达到法定退休年龄：
- 情况说明：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动者开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同终止。此情形下，公司辞退员工通常无需支付经济补偿。
- 特殊情况：若劳动者虽达到退休年龄却因各种原因（如社保缴费年限不足）未能享受基本养老保险待遇，且仍与公司保持劳动关系，公司无正当理由辞退该劳动者，则可能涉及违法解除劳动合同的问题。
未享受基本养老保险待遇且未达到法定退休年龄：
- 情况说明：若60岁员工未享受基本养老保险待遇且因特殊情况（如延迟退休）未达到法定退休年龄，公司无正当理由辞退员工，可能构成违法解除劳动合同。
- 法律后果：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
五、劳务关系与劳动关系的区别
- 劳务关系：若60周岁员工已办理退休手续并享受养老保险待遇，与公司之间形成的是劳务关系。劳务关系下，公司辞退员工一般无法定补偿义务，双方依据劳务合同约定处理相关事务。
- 劳动关系：若60周岁员工尚未办理退休手续，仍与公司存在劳动关系，则公司辞退员工时需遵循劳动法相关规定。若属无过失性辞退，公司需提前三十日书面通知员工或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并根据员工工作年限支付经济补偿。
建议：面对辞退补偿问题，您应与公司积极协商沟通，了解自身权益和法律规定。若协商不成，可以通过法律途径维护自身合法权益。如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。