结论：婚外情怀孕四个月，女方是有权根据具体情况起诉男方的，但具体起诉的理由和可能的结果会因实际情况的不同而有所差异。以下是从不同角度的详细分析：
若女方选择终止妊娠：
- 费用分担：女方因终止妊娠产生的医疗费、营养费等合理费用，可以基于公平原则，向法院起诉要求男方分担。这需要提供相关证据，如医疗费票据、购买营养品的凭证等。
- 精神损害赔偿：怀孕和流产对女性身体和精神都会造成较大伤害，女方可以主张精神损害赔偿。但这一赔偿的认定标准相对严格，需要证明精神损害达到一定程度，并且与男方的行为有直接的因果关系。
若女方选择生下孩子：
- 抚养义务：男方作为孩子的生父，对孩子有抚养义务。女方可以在孩子出生后向法院起诉男方，要求其支付抚养费。抚养费的数额一般根据男方的收入状况、孩子的实际需要以及当地的生活水平等因素综合确定。
- 亲子关系确认：若男方对亲子关系有异议，可通过亲子鉴定来明确。这一步骤在法律程序中是必要的，以确保抚养义务的准确执行。
关于男方的法律责任：
- 非强迫情况下的法律责任：如果男方只是提出让女方打掉孩子的要求，并未采取任何强迫或违法手段，那么女方仅凭这一要求本身去法院起诉男方可能面临法律挑战。因为我国法律并未明确规定在这种情况下男方必须承担的法律责任。
- 违法行为导致的责任：如果男方的行为（如使用暴力或胁迫手段）导致了女方的流产或侵犯了其生育权，那么女方有权要求男方承担相应的法律责任。这可能包括医疗费、营养费、误工费等合理损失的赔偿，甚至精神损害赔偿。在严重情况下，男方的行为可能触犯刑法，构成故意伤害罪，女方可以向公安机关报案追究其刑事责任。
关于起诉离婚的可能性：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十二条的规定，女方在怀孕期间、分娩后一年内或者终止妊娠后六个月内，男方原则上不得提出离婚。但是，女方提出离婚或者人民法院认为确有必要受理男方离婚请求的除外。因此，如果女方想在此期间提出离婚，法律是允许的。
建议：
- 在准备起诉时，女方应特别注意收集和保留相关证据，如双方的聊天记录、就医记录、费用支出凭证以及可能的证人证言等。这些证据对于支持女方的诉讼主张至关重要。
- 面对此类复杂问题，女方应保持冷静和理性，通过法律手段来维护自己的合法权益。如果女方有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供有针对性的法律建议和帮助。