结论：父母私下签订的赠与协议在法律上并不强制要求公证，但公证能为协议提供额外的法律保障，特别是在涉及高价值财产或复杂产权问题时。

赠与协议的基本要素与法律效力

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，赠与协议是赠与人将自己的财产无偿给予受赠人，受赠人表示接受赠与的合同。一份合法有效的赠与协议需满足以下条件：

1. 民事行为能力：赠与人与受赠人均需具备相应的民事行为能力，即能够独立表达自己的意愿并承担法律责任。
2. 意思表示真实：双方的意思表示必须真实，不存在欺诈、胁迫等情形。这意味着父母是自愿将财产赠与子女，子女也是自愿接受赠与。
3. 内容合法性：协议内容不得违反法律、行政法规的强制性规定，也不得违背公序良俗。

只要满足上述条件，即使赠与协议未经公证，也通常具有法律效力。

公证的作用与优势

虽然赠与协议不公证也有效，但进行公证能带来以下显著优势：

1. 增强合同效力和证明力：经过公证的赠与协议在证明力上更强。若日后双方就赠与协议发生纠纷，公证书将成为强有力的证据，有助于快速解决争议。
2. 限制赠与的撤销：一般情况下，赠与人在赠与财产的权利转移之前可以撤销赠与。然而，经过公证的赠与协议，赠与人不得任意撤销。这对受赠人来说是一种重要的权益保障，确保赠与的稳定性和可靠性。
3. 明确权利义务：如果赠与协议中涉及到复杂的财产或权益，办理公证可以帮助双方更清晰地明确各自的权利和义务，减少未来产生纠纷的可能性。
4. 便于办理相关手续：在涉及不动产（如房产）的赠与时，公证过的赠与协议在办理过户手续时往往更为顺利，因为相关部门可能要求提供经过公证的赠与协议作为重要文件。

实际操作中的建议

1. 考虑财产价值与复杂性：如果赠与的财产价值较高或涉及复杂的产权问题，建议进行公证以增强协议的法律效力和保障受赠人的权益。
2. 双方意愿与信任度：如果双方对彼此的信任度较高，且认为公证不是必要的，那么可以选择不进行公证。但无论如何，都应确保协议内容合法、有效，并明确双方的权利和义务。
3. 未来可能的风险：即使选择不进行公证，也应考虑到未来可能出现的风险，如赠与人反悔、受赠人无法证明赠与事实等。在这种情况下，其他证据（如书面协议、证人证言等）将变得尤为重要。

总结：父母私下签订的赠与协议在法律上并不强制要求公证，但公证能为协议提供额外的法律保障。是否进行公证应综合考虑财产价值、复杂性、双方意愿与信任度以及未来可能的风险等因素。如果有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。