结论：针对“不履行父亲丈夫的职责且没有经济支持，可以起诉他什么”这一问题，主要可以从离婚诉讼中的过错赔偿、要求支付抚养费或扶养费以及可能涉及的遗弃罪刑事责任三个角度来考虑。

1. 离婚诉讼中的过错赔偿：

   • 法律背景：在婚姻关系中，如果一方不履行家庭义务，如不关心配偶、不照顾子女等，且这种行为构成了婚姻中的过错（如虐待、遗弃家庭成员等），那么在离婚时，无过错方有权请求损害赔偿。
   • 具体应用：若您作为配偶，因对方不履行丈夫职责且没有经济支持而遭受精神或物质上的损害，可以在离婚诉讼中提出过错赔偿请求。但需要注意的是，这需要证明对方的行为确实构成了婚姻中的过错，并且这种过错与您所遭受的损害之间存在因果关系。

2. 要求支付抚养费或扶养费：

   • 法律背景：根据《民法典》的相关规定，父母对子女有抚养教育的义务，夫妻之间有相互扶养的义务。如果一方不履行这些义务，另一方有权要求其支付相应的费用。
   • 具体应用：
     • 抚养费：若对方不履行作为父亲的职责，不支付子女的抚养费，您作为子女的法定代理人（通常是母亲）可以代表子女向法院提起诉讼，要求对方支付抚养费。抚养费的数额通常根据子女的实际需要、父母的负担能力和当地的实际生活水平来确定。
     • 扶养费：若您作为配偶，因对方不履行丈夫职责且没有经济支持而生活困难，可以要求对方支付扶养费。这通常发生在夫妻关系尚未解除，但一方因各种原因无法维持基本生活的情况下。

3. 可能涉及的遗弃罪刑事责任：

   • 法律背景：遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。如果对方的行为构成了遗弃罪，那么除了民事赔偿外，还可能面临刑事责任。
   • 具体应用：若对方长期不履行作为父亲和丈夫的职责，对家庭成员（尤其是子女和配偶）的生活造成严重影响，且情节恶劣（如拒绝支付抚养费、扶养费，导致家庭成员生活无着等），那么您可以向公安机关报案，要求追究对方的刑事责任。但需要注意的是，遗弃罪的认定需要满足一定的条件，且需要由公安机关进行调查取证。

建议与后果：

• 在采取法律行动前，建议您先尝试与对方进行沟通协商，看是否能够解决问题。如果沟通无果，再考虑通过法律途径来维护自己的权益。
• 起诉对方需要准备充分的证据来证明对方的行为构成了过错或遗弃等违法行为。因此，在起诉前，建议您收集好相关证据（如聊天记录、转账记录、证人证言等）。
• 不同的法律途径可能带来不同的法律后果。例如，离婚诉讼中的过错赔偿可能涉及财产分割和子女抚养权的归属等问题；要求支付抚养费或扶养费则可能涉及长期的支付义务；而遗弃罪的刑事责任则可能涉及对方的自由和名誉等问题。因此，在选择法律途径时，请务必谨慎考虑并咨询专业律师的意见。

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