结论：在母亲起诉女儿的过程中，若母亲去世，诉讼程序将因一方当事人死亡而中止或终结，具体取决于诉讼的性质和母亲的诉讼地位。同时，母亲的遗产将按照法定继承或遗嘱继承的方式进行处理，女儿作为法定继承人之一，有权继承母亲的遗产，但需注意可能存在的债务清偿问题。

详细分析：

1. 诉讼程序的中止或终结：

   • 中止：如果母亲是原告，且其去世后，诉讼可能因需要等待继承人表明是否参加诉讼而中止。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，一方当事人死亡，需要等待继承人表明是否参加诉讼的，中止诉讼。中止诉讼的原因消除后，恢复诉讼。
   • 终结：如果母亲是被告，且其去世后没有遗产，也没有应当承担义务的人，或者诉讼标的已经不存在（如母亲被诉要求履行的义务已经因其去世而自然消灭），则诉讼可能终结。此外，如果母亲去世后，其继承人明确表示放弃继承，且没有其他应当承担义务的人，诉讼也可能终结。

2. 遗产继承：

   • 法定继承：如果母亲没有留下遗嘱，其遗产将按照法定继承的方式进行处理。根据《中华人民共和国民法典》的规定，女儿作为法定继承人之一，有权继承母亲的遗产。继承开始后，由第一顺序继承人（配偶、子女、父母）继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。
   • 遗嘱继承：如果母亲留下了遗嘱，且遗嘱中指定了女儿为继承人，那么女儿将按照遗嘱的约定继承母亲的遗产。遗嘱继承优先于法定继承。

3. 债务清偿：

   • 在继承母亲遗产的同时，女儿也需要注意母亲可能存在的债务。根据《中华人民共和国民法典》的规定，继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以遗产的实际价值为限。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。

建议：

• 如果母亲去世后，诉讼程序尚未终结，女儿作为继承人或相关当事人，应及时与法院联系，了解诉讼进展，并根据实际情况决定是否继续参加诉讼。
• 在处理母亲遗产时，女儿应仔细核查母亲的债务情况，确保在继承遗产的同时，不承担超出遗产实际价值的债务。
• 如果女儿对诉讼程序或遗产继承存在疑问或困惑，建议及时咨询专业律师，以获取更具体、更专业的法律建议。

如有任何进一步的问题或需要更详细的法律咨询，请直接向我提问。